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2026年江苏省南通市海门实验初中中考数学模拟试卷（A卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若△ABC∽△DEF，面积比为9：16，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A. 2：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 4：3
3.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（　　）
A. 16 B. 12 C. 6 D. 4
4.据统计，2023年贵州省共接待游客万人次.数据“128400万”用科学记数法表示为（　　）
A. 12.84×104 B. 1.284×105 C. 12.84×108 D. 1.284×109
5.已知平行四边形ABCD中，，点E在CD边上，△BCE沿BE折叠得△BC′E，下列结论正确的是（　　）
A. 当BE⊥CD时，DC′=2
B. 当C′落在CD边上时，tan∠BC'E=
C. 当C′落在AB边上时，△BC′E的面积为
D. C′D的最小值为
6.如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.点D从点A出发沿折线AC-CB运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E.设点D运动的路径长为x,△BDE的面积为y,若y与x的对应关系如图2所示，则a-b的值为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，点A的坐标是（-2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx-3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（-1，0），其对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＜0；
③若抛物线经过点（-3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0（a≠0）的两根分别为-3，5；
④5a+c＜0，
上述结论中正确结论的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一：
（1）p1≠0，p2=0；（2）p1=p2，q1＞q2；则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式.
对于两个多项式和，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，……，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…，An称为“优选作差”序列{An}.
现对，A1=x+1进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法：
①A2024=x+1；
②；
③当n=2024时，“优选作差”序列{An}中满足Ak-Ak+1=Ak+2的正整数k有1350个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（3，0），若在直线y=-x+m上存在点P满足∠APB=60°，则m的取值范围是（　　）
A. ≤m≤ B. --5≤m≤+5
C. -2≤m≤+2 D. --2≤m≤+2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： .
12.一元二次方程ax2+4x-5=0的两个实数根分别为x1，x2，则= .
13.计算：5x3y2÷（-15xy）= .
14.如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案.若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是 .
15.如图，在矩形OABC中，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数（x＞0）的图象分别与OB，BC，AB交于D，E，F三点，EF与OB交于点H，连接DE，DF，若，，则k的值为 .
16.如图1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分别是边AB，AC的中点，在边BC上取点F（BF＜BC），点G在边BC上，且满足FG=BC，连接EF，作DP⊥EF于点P，GQ⊥EF于点Q，线段EF，DP，QG将△ABC分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，将这四个部分重新拼接可以得到如图2所示的矩形HIJK，若HI：IJ=4：5，则图1中BF的长为______.
17.在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4 在x轴的正半轴上.点B1，B2，B3 在直线（x≥0）上且∠A1OB1=30°.若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4 均为等边三角形.则点B2024的纵坐标为 .
18.△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接ED交⊙O于F，连接FM，MN，则FM+MN的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.
四、解答题：本题共7小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
计算：
（1）计算：；
（2）化简：.
（3）先化简，再求值：，其中a=-3.
21.(本小题12分)
中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题.
（1）本次模拟考试该班学生有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级______；
（4）该校共有1000名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数.
22.(本小题10分)
已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD.
（1）利用尺规作图作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABEF是菱形.（补全下列证明过程）
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ______
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴ ______
∴BA=BE，
又∵AB=AF，
∴ ______
又∵AD∥BC，
∴四边形ABEF为平行四边形，
又∵ ______，
∴四边形ABEF是菱形.
23.(本小题12分)
以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4
BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8
AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC=x，AC+BC=y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x=____时，y最大；
（Ⅳ）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2a（a为常数，a＞0），则BC=____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）______；（Ⅳ）______；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B--E--F--G--A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米．∠E=∠F=∠G=90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
24.(本小题12分)
【问题提出】：
（1）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，则cos∠BAC=______.
【问题探究】：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，在矩形内部有一动点P，满足tan∠APB=3.小明打算找出P到CD的最短距离.他的操作如下：
在BC上取一点E，使得BE=2，连接AE，作△ABE的外接圆，圆心为O，AE为直径，过点O作CD的垂线，交⊙O于点P，交CD于点F，此时P到CD的距离最短.
问：以上操作是否合理？若合理，请求出P到CD的最短距离.若不合理，请说明理由.
【问题解决】：
（3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形ABCD形状，其中AB=8米，BC=10米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分.设计思路如下：在矩形ABCD内部找一点P，连接AP，BP，DP，使得，且.其中△APD是老师课堂展示部分，△ABP是小组合作交流部分，剩下的四边形BCDP是学生创造性设计部分.请计算课堂展示部分△APD的面积.
25.(本小题14分)
已知抛物线y=-x2+bx+c,直线与y轴交于A，与x轴交于B.抛物线过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，AM⊥MN.若，求点M的横坐标；
（3）如图2，∠ACB=90°，点P为AB中点，EP∥OB，且点E的横坐标为-1.∠ECD=90°，∠EDC=60°，作点A关于x轴的对称点F，，连接DG，DF.请直接写出的最小值（结果无需化简）.
26.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB=2.给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”.
（1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为______；
（3）如图2，若A，B是直线y=-x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是______；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】-3，答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】-x2y
14.【答案】4π-6
15.【答案】4
16.【答案】9-2
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】

20.【答案】 ，
21.【答案】（1）40；
（2）补全统计图如下：
（3）D；
（4）1000×=50（人）．
答：估计该校A等级的学生人数为50人．
22.【答案】作图见解答过程；
∠ AEB=∠DAE，∠BAE=∠AEB，BE=AF，AB=AF．
23.【答案】解：问题1：函数图象如图所示：
问题2：（Ⅲ）观察图象可知，x=2时，y有最大值．
（Ⅳ）猜想：BC=a．
故答案为：2，BC=a．
问题3：设BC=x，AC+BC=y，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°
∴AC==，
∴y=x+，
∴y-x=，
∴y2-2xy+x2=4a2-x2，
∴2x2-2xy+y2-4a2=0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴=4y2-4×2×（y2-4a2）≥0，
∴y2≤8a2，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤2a，
当y=2a时，2x2-4ax+4a2=0
∴（x-2a）2=0，
∴x1=x2=a，
∴当BC=a时，y有最大值．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K,交AH于Q．
在Rt△BNE中，∠E=90°，∠BNE=60°，BE=1cm，
∴tan∠BNE=，
∴NE=（cm），
∵AM∥BN，
∴∠C=60°，
∵∠GFE=90°，
∴∠CMF=30°，
∴∠AMG=30°，
∵∠G=90°，AG=1cm，∠AMG=30°，
∴在Rt△AGM中，tan∠AMG=，
∴GM=（cm），
∵∠G=∠GFH=90°，∠AHF=90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH=FG，
∵∠GFH=∠E=90°，∠BKF=90°，
∴四边形BKFE是矩形，
∴BK=FE，
∵FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH--=BQ+AQ+KQ+QH-=BQ+AQ+2-，
在Rt△ABQ中，AB=4cm，
由问题3可知，当BQ=AQ=2cm时，AQ+BQ的值最大，
∴BQ=AQ=2时，FN+FM的最大值为（4+2-）cm，此时EF=（1+2）cm．
24.【答案】 合理，P到CD的距离为7- 35（米2）
25.【答案】
26.【答案】解：（1）∵AB平移得到P1P2，
∴AB∥P1P2，
同理，AB∥P3P4，
∴P1P2∥P3P4，
由图可得，连接点A与点P2的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”，
故答案为：平行，P2，；
（2）如图1，过B作BG⊥y轴于G，则G（0，5），
∴AG=BG=2，∠GAB=∠GBA=45°，
∴AB=，
设直线AB为y=kx+7，代入点B，得k=-1，
∴直线AB为y=-x+7，
设直线AB交x轴于M，
∵BG⊥y轴，
∴BG∥x轴，
∴∠AMO=∠GBA=45°，
由（1）可得，平移AB，使对应点落在⊙上，此时AB∥A′B′，且AB=A′B′，
这样的对应线段有两条，分别位于圆心O点两侧，
所以当A′在如图位置时，线段AA′的长度是AB到⊙O的“优距离”，
过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AM于T
∵A′B′∥AM，
∴∠OHB′=∠OTM=90°，
∴∠TOM=90°-∠AMO=45°，
连接A′O，
∵OH⊥A′B′，
∴A′H=B′H=，
在Rt△A′OH中，，
过H作HE⊥x轴于E，
∵sin∠TOM=sin45°=，
∴HE=OE=2，
∴H（2，2），
∵AB∥A′B′，
∴设直线A′B′为y=-x+m，代入点H，得m=4，
∴直线A′B′为y=-x+4，
设A′（a，-a+4），过A′作A′F⊥x轴于F，
在Rt△A′OF中，A′O2=OF2+A′F2，
∴a2+（-a+4）2=10，
∴a=1或3(不合题意舍去)，
∴a=1，
∴A′（1，3），
故答案为：（1，3）；
（3）由（2）可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB∥A′B′，AB=A′B′，
符合条件的A′B′只有两条，并且位于O点两侧，
如图2，根据垂线段最短，当AA′⊥AB时，d最小，
∵AB∥A′B′，AB=A′B′，
∴四边形AA′B′B为平行四边形，
∵AA′⊥AB，
∴ AA′B′B为矩形，
∴A′B′=AB=，
令x=0，则y=-x+6=6，
∴N（0，6），
同理，M（6，0），
∴OM=ON=6，
∴△MON为等腰直角三角形，
过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AB于T，连接OA′，
∴A′H=B′H=，
在Rt△A′OH中，OH=，
∵AB∥A′B′，
∴∠OTM=∠OHB′=90°，
∴OT⊥MN，
又△MON是等腰直角三角形，
∴OT=，
∴，
∵A′A⊥AB，OT⊥AB，
∴AA′∥OT，
又AB∥A′B′，
∴四边形A′ATH为平行四边形，
∴d=AA′=HT=，
即d的最小值为．
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