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北京市昌平区第二中学2025--2026学年下学期九年级数学统练6
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
4.将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. D. 0
6.在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
7.如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ）
A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行
B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧
C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等
D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.分式方程的解是
12.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
13.如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC.若，则∠DOC=_____．
14.为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共 千克．
15.如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ．
16.化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材
大实验台 4 5 2
小实验台 3 1
(1) 现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费 分钟．
(2) 现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要 分钟．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解不等式组：．
四、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：
19.(本小题4分)
，求代数式的值．
20.(本小题4分)
下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
21.(本小题4分)
如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 若点是的中点，，，求的长．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．
(1) 求函数的解析式；
(2) 已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围．
23.(本小题9分)
某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差
A m 85
B 87
C 8 n
(1) 任务1： ， ；
(2) 【数据分析与运用】任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断 A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由．
(3) 任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是 ．
①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变；
②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变；
③新增四个分数后， C款机器人运动能力得分的方差减小．
24.(本小题6分)
如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，的半径为3，，求的长．
25.(本小题6分)
某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系．
（小时） 0 1 2 4 6 8
0
0
(1) 在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象．
(2) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当净化时间约为 小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为 小时（结果保留小数点后一位）；
②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为 毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为 毫克/立方米．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)
将抛物线在 轴右侧的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，组成图形 ．
①过点 作 轴的垂线，交图形 于点 ，交直线 于点 ，已知点 从点 运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求 的取值范围；
②若 ，且点 ， 在图形 上，对任意的 ，都有 ，直接写出实数 的取值范围．
27.(本小题6分)
如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接．
(1) 如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长；
(2) 如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明．
28.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．
(1) 如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离 ；
(2) 已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离，并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；
(3) 直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0，（答案不唯一，即可）．
13.【答案】54
14.【答案】145.6
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
【小题2】
13

17.【答案】解：，
解①得；
解②得，
所以不等式组的解集为．

18.【答案】解：原式
．

19.【答案】解：
=，
=，
=，
=，
∵，
∴，
则原式=．

20.【答案】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积： ．
卫生间面积： ．
客厅面积： ．
卧室面积： ．
由题意，可得．
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．

21.【答案】【小题1】
证明：∵F为边中点，，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵E，F分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵，，
∴设，则，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：把代入，得：，
∴，
把代入得：，
解得，
∴函数；
【小题2】
解：当时，对每一个的值，需存在整数满足，
∵对所有成立，
∴，
整理得，
分三种情况讨论：
①当时，取（满足），则
，，
此时，不符合题意，舍去；
②当时，，则对于：
，
∵，
∴，
∴，即恒成立，
同时，说明与之间必然存在整数，符合题意；
③当时，取（满足），则
，，
此时，
若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围为．

23.【答案】【小题1】
9
83
【小题2】
解：A款机器人的综合成绩为：分，
B款机器人的综合成绩为：分，
C款机器人的综合成绩为：分，
由于
因此，综合成绩最高的是A款机器人；
【小题3】


24.【答案】【小题1】
解：连接．
，
．
与相切于点，
，
．
，
，
．
，
，
；
【小题2】
解：过点作于点．
∵，，
．
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
．

25.【答案】【小题1】
解：如图
【小题2】
2.2
2.9
11.8
9.2

26.【答案】【小题1】
解： ，
则抛物线的顶点坐标为 ．
【小题2】
①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为 ，
当 ，图形 如下图所示，
据图可知，当点 从点 运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大；
当 ，图形 如下图所示，
当 ，解析式为 ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
可得 ，
令 ，即当 ， 随着 的增加而增加，
的对称轴为 ，
则 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 或 ．
②解：如图，当 ，抛物线为 ，当 ， ，当 ， ，
即在图形 上， 随着 的增大而增大，
设 ，则 ， 可转化为 ，
若对任意的 ，都有 ，
则 ，解得 ，
其中 ，则 ，
解得 ．

27.【答案】【小题1】
解：由题意得，，，
，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
即；
解得（负值已舍去），
在中，；
【小题2】
解：．
证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．

28.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：由（1）可知，当时，直线与轴夹角为45度时，即时，直线上的点到轴的最佳射影距离相等，
设直线与相切于点，
，
，
设过的直线且与平行的直线为，
则，
即，
，
根据题意求最大值，则的切线在上方，
过点作轴于点，过点作，如图，
则，
为向左平移1个单位，再向上平移一个单位，
即的切线为，
由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，
关于轴的最佳射影距离；

当时，设直线为（b为常数且），令，
解得：，
即此时直线（b为常数且）与x轴的交点坐标为，
当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为：
，
∴当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为定值，
设直线（b为常数且）与相切于点，
，
，
设过的直线且与平行的直线为，
则，
即，
，
根据题意求最大值，则的切线在上方，
过点作轴于点，过点作，如图，
则，
为向右平移1个单位，再向上平移一个单位，
即的切线为，
由向右平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，
关于轴的最佳射影距离；

综上分析可知，关于轴的最佳射影距离，此时关于轴的最佳射影点的坐标为或；
【小题3】
根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，
根据勾股定理求得，
由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义，
即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值


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