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河南漯河市郾城区2025-2026学年度下学期期中学业质量监测九年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个数的相反数是-4,这个数是( )
A. B. - C. 4 D. -4
2.据网络平台数据显示,截至2026年2月23日,马年春节档放映总场次435万场,刷新中国影史春节档场次记录,数据“435万”用科学记数法可表示为( )
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.将一副直角三角板(B=,E=) 按下图所示摆放, 点D在BC上且点F在AC的延长线上.若ABDE,则CDF的度数为( )
A. B. C. D.
5.下列不等式中，与1-x＞0组成不等式组的解集为x＜1的是（　　）
A. x＜0 B. x＜2 C. x＞-1 D. x＞3
6.某物体的三种视图如左图所示，则这个物体是（）
A. B. C. D.
7.若关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A. -1 B. C. 0 D. 1
8.为了加深学生对数学文化的了解,某校开展了讲数学家故事的活动.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像,依次制成除内容外,其余完全相同的四张卡片,将这四张卡片背面朝上,洗匀放好,甲从中随机抽取一张,记下数学家名字,放回洗匀后,乙再从中随机抽取一张,记下数学家名字,则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，的半径为是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图①，在等腰三角形中，，于点．动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于点．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图像如图②所示．则的长为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.请写出一个图象经过原点的函数的解析式 .
12.化简： ．
13.观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1=2；图（2）有3个三角形，记作a2=3；图（3）有6个三角形，记作a3=6；图（4）有11个三角形，记作a4=11；按此方法继续下去，则an= （结果用含n的代数式表示）.
14.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边OC在x轴上,点D是边OC上的一点,坐标为(2,0),将OAD沿AD折叠,点O落在点E处.若DE的延长线交BC于F,且CF=3,则点E的坐标为 .
15.如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算与化简
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
为提升学生体质健康水平,某校开展了丰富多彩的课外社团活动.在八年级组织的课外体育社团中,甲、乙两位同学参加了立定跳远社团的选拔,这两位同学的10次跳远成绩的折线统计图如图所示(规定:立定跳远的测试成绩满分为10分,其中成绩是8分及以上的为优秀).
分析甲、乙的成绩,得到如下数据:
平均数/分 中位数/分 方差 优秀率
甲 7 b c%
乙 a 7 40%
根据以上信息,回答下列问题.
(1) 填空:a= ,b= ,c= .
(2) 这10次测试成绩中,发挥较稳定的是 同学(填“甲”或“乙”).
(3) 请你从这两位同学中选出一位,对其跳远成绩作出评价,并提出合理化建议.
18.(本小题10分)
如图，的边上有一点P，过点P作．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2) 在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．
19.(本小题15分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D.且.
(1) 分别求这两个函数的表达式；
(2) 以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧，与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE.求的面积；
(3) 根据函数的图象直接写出关于x的不等式的解集.
20.(本小题5分)
冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图（1）是某滑雪赛道，图（2）是其侧面简化示意图．是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长7.5米．小华从A处测得C处的仰角为，从B处测得C处的仰角为，已知，求滑雪赛道的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，）
21.(本小题10分)
本学期开始，我省义务教育阶段学校需每天开展两小时综合体育活动．为更好地满足学生体育活动需要，某中学计划购进一批足球和排球．据了解，某体育用品店每个足球比排球贵30元，若用1600元购买足球的数量与用1000元购买排球的数量相等．
(1) 求每个足球和每个排球各多少元？
(2) 该学校计划购进足球和排球共120个，且购买足球的数量不少于排球数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．
22.(本小题15分)
已知抛物线（a为常数）经过点．
(1) 求a的值．
(2) 过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3) 设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
23.(本小题15分)
问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况．
(1) 【从特例开始】小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______；
(2) 小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数；
(3) 【一般化探索】利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】y=x（答案不唯一）
12.【答案】 /
13.【答案】n2-2n+3
14.【答案】(,)
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
7

50
【小题2】
乙
【小题3】
选甲同学.
评价:甲同学的成绩波动较大,但优秀率较高,有潜力取得高分.
建议:甲同学需要提高成绩的稳定性,减少失误. 选乙同学.
评价:乙同学的成绩相对稳定,但优秀率较低.
建议:乙同学可以在保持稳定性的基础上,尝试突破自己的极限.
(答案合理即可)

18.【答案】【小题1】
如图所示，，即为所求；
【小题2】
如图所示，连接，
由作图得，，
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．

19.【答案】【小题1】
【解】在中，当时，，
∴.∴.∵，
∴在中，.∴.∴.
把的坐标代入中，得，解得，
∴一次函数的表达式为，
在中，当时，，∴.
把的坐标代入中，得，解得.
∴反比例函数的表达式为.
【小题2】
联立解得或∴.
设，由题意得，
∴，解得或（舍去）.
∴.∴.
∴.
【小题3】
关于x的不等式的解集为或.

20.【答案】解：过点作于点，则由题意得，，
∵斜坡的坡比，坡面长7.5米
∴，
设，
则，
解得：
所以：，，
在中，，
∴
∴，
在中，，即，
则，
解得：
所以滑雪赛道的高度为11.5米．

21.【答案】【小题1】
解：设每个足球的价格是元，则每个排球的价格是元，依题意得

解得
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
．
答：每个足球的价格是80元，每个排球的价格是50元．
【小题2】
解：设购进足球个，则购进排球个，购买总费用是元，依题意得

解得．
．
，
随的增大而增大，当时，取得最小值6900元．
此时，．
答：当购买足球30个，排球90个时，总费用最少，最少总费用为6900元．

22.【答案】【小题1】
解：把代入，得：，
解得：；
【小题2】
由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
【小题3】
∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．

23.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求：
连接与格线的交点记为，
由网格可得，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴为格点，同理为格点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
故答案为：45；
【小题2】
延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
同理可得四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小题3】
随点的运动，的度数不变，且为，理由如下：
延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，
设正方形的边长为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∵在中，，
∴
，
∴（舍负），
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．

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