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2025-2026学年辽宁省沈阳一中高二（下）第一次段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N（80，400），则分数在100-120之间的考生约有（　　）（参考数据：若X N（μ，σ2），则有P（μ-σ X μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ X μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ X μ+3σ）≈0.9973）
A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若5a5和S2的等差中项为6，则S7=（　　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
3.通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（　　）
x 2 3 4 5 6
y 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31
A. -0.08 B. 0.08 C. -0.09 D. 0.09
4.已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10是方程x2+8x+5=0的两根，则a8=（　　）
A. B. C. D.
5.已知随机变量X N（μ，σ2），且，且2E（X）=D（2Y），则p=（　　）
A. B. C. D.
6.对于数列{an}，定义为数列{an}的“优值”，现已知数列{an}的“优值”，记数列{an}的前n项和为Sn，则=（　　）
A. 2027 B. C. 2029 D.
7.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入（　　）号格子的概率最大.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则错误的是（　　）
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 数据1，2，3，5，7，8的25%分位数为2
B. 若随机变量ξ N（μ，σ2），且P（ξ≥-1）+P（ξ≥5）=1，则μ=1
C. 若数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，则数据x1，x2-1，x3-2，x4-3，x5-4的平均数为0
D. 在独立性检验中，χ2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
10.已知等差数列{an}的公差为d≠0，其前n项和为Sn，且a10（a10+a11）＜0，则（　　）
A. S19S20＜0 B. a10a11＜0
C. 若a1＜0，则a2025＞a2026 D. 若a1=1，则
11.若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=2，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 是等比数列
C. 当n为偶数时，
D. 数列{nan}的前n项和为Tn，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=28，若a3，a1，a8成等比数列，则a8= .
13.已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则X的数学期望E（X）= .
14.如图，由观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6）的散点图可知，Y与X的关系可以用模型Y=blnX+a拟合，设Z=lnX，利用最小二乘法求得Y关于Z的回归方程为.已知，，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业 A B C D E F G
研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率P（N|M）的值；
（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn=2-an-（）n-1（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该商场连续五天的日销售情况：
温度/℃ [19，20） [20，21） [21，22） [22，23） [23，24）
温度变量xi 1 2 3 4 5
销售量yi/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1
其中i=1，2，3， ，温度变量xi对应的销售量为yi.
（1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在[24，25）区间时该饮品的日销售量.
（2）为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：
喜欢 一般 合计
女 90 20 110
男 70 40 110
合计 160 60 220
依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？
（3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.
根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
附：，，χ2=，n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
记各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知.
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若存在正整数n,使得，求k的取值范围.
19.(本小题17分)
在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
（1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
（2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.
记第n次选择方案A，B，C的概率分别为an，bn，cn.
（i）求a2，b2，并证明：数列为等比数列.
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】解：（1）（i）因为，，
根据条件概率可得；
（ii）事件M与N不相互独立；
因为，，
所以P（N）≠P（N|M），
故M，N不相互独立；
（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故 X的数学期望．
16.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和Sn=2-an-（）n-1（n∈N*）①，
当n=1时，解得，
当n≥2时，Sn-1=2-an-1-（）n-2，②
①-②得：an=Sn-Sn-1=，
整理得，
由于数列{bn}满足bn=2nan．
所以bn-bn-1=1（常数），
所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以2nan=n，
整理得．
（2）由（1）得：Sn=2-an-（）n-1=2，
设的前n项和为Mn，
则①，
②，
①-②得：，
整理得：．
所以=．
17.【答案】（1）一元线性回归模型为：;估计温度在[24，25）区间时该饮品的日销售量为1.2万份 （2）依据小概率值α=0.01的独立性检验，对饮品的喜欢程度与性别有关联 （3）约为6.3千份
18.【答案】证明：根据题意，正数的数列{an}中，若，
所当n=1时，有，即2-a1-1=0，
变形可得，所以a1=1，
又，所以，
当n≥2，，
变形可得：，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为{an}各项均为正数，所以an+an-1＞0，故an-an-1=2，
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，结论成立 （-∞，6]
19.【答案】 （i），，证明如下：
设第n次物流选择方案A，B，C为事件An，Bn，Cn第n次物流提前送达为事件乙，
则an=P（An），bn=P（Bn），cn=P（Cn），因为an+bn+cn=1，所以cn=1-an-bn，
所以．
由②根据全概率公式，P（An+1）=P（An）P（An+1|An）+P（Bn）P（An+1|Bn）+P（Cn）P（An+1|Cn），
注意到，，
而，
所以，
同理=．
注意到
=，
且，所以，
故为定值，即是以为首项，为公比的等比数列；（ⅱ）能
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