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2025-2026学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则a10=（　　）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
2.已知数列{an}满足，则a2026的值为（　　）
A. 2 B. 1 C. D. -1
3.已知数列{an}为等比数列，若a1=2，a5=32，则a3的值为（　　）
A. ±8 B. 8 C. 16 D. ±16
4.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S6=14，则S4=（　　）
A. B. 4 C. 6 D. -4或6
5.设函数f（x）在x=x0附近有定义，且有（其中a,b为常数），则有（　　）
A. f′（x）=a B. f′（x）=b C. f′（x0）=a D. f′（x0）=b
6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题，其中正确的是（　　）
A. d＞0 B. S11＞0
C. S12＜0 D. 数列{Sn}中的最大项为S11
7.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，根据图中的规律，第2021行从右至左第1010个数为（　　）
A. 3030
B. 1010×2021
C. 1010×2022
D. 2020×2022
8.定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②an+1-an＜an+2-an+1.设Sn为下凹数列{an}的前n项和，已知a1=1，a2=2，若Sn≤100，则n的最大值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（　　）
A. 当n=1时，命题的左边为1+1
B. 当n=k时，命题的左边为1+2+3+ +k2
C. 当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上增加的部分是（k+1）2
D. 当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+ （k+1）2
10.下列叙述正确的是（　　）
A. 若等差数列{an}的公差d＞0，则数列{an}为递增数列
B. 若等比数列{bn}的公比q＞1，则数列{bn}为递增数列
C. 若b2=ac,则a、b、c成等比数列
D. 若S2n-1是等比数列{cn}的前2n-1项和，则S2n-1=0无解
11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列{an}满足a1=0，，则（　　）
A. a3=4 B. a2024=1012×2024
C. 此数列的前n项和为Sn=n（n-1） D. 数列{（-1）nan}的前60项和为930
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=f（x）=3x+1在点x=2处的瞬时变化率为 .
13.已知数列{an}满足a1=2，，则数列{an}的通项公式为an= .
14.数列{an}满足an+2+（-1）nan=3n-1，前16项和为540，则a1= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等比数列{an}其前n项和为Sn，满足a1+a2=4，a3-a1=8.
（1）求S8的值；
（2）记Tn为数列{log3an}的前n项和，若Tm+Tm+1=Tm+3，求m.
16.(本小题15分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）记，求数列{cn}前n项和Kn.
17.(本小题15分)
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n.
（1）求证：数列{an-2}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若不等式2λ-λ2＞（2n-3）（2-an）对任意的正整数恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
给定正奇数n（n≥5），数列{an}：a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，定义E（a1，a2，…，an）=|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|为数列{an}：a1，a2，…，an的位差和．
（Ⅰ）当n=5时，求数列{an}：1，3，4，2，5的位差和；
（Ⅱ）若位差和E（a1，a2，…，an）=4，求满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数；
（Ⅲ）若位差和E（a1，a2，…，an）=，求满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】7
15.【答案】解：（1）设等比数列{an}的公比为q,
根据题意，有，解得，
所以；
（2）由（1）知，，令，
所以，
根据Tm+Tm+1=Tm+3，可得，
整理得m2-5m-6=0，
因为m＞0，所以m=6，
16.【答案】an=2n-1
17.【答案】解：（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，
所以数列{an}是以20（1+5%）为首项，1+5%为公比的等比数列，
数列{bn}是以6+1.5=7.5为首项，1.5为公差的等差数列，
则，bn=6+1.5n；
（2）设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn，
则Sn=（a1-b1）+ +（an-bn）
=（a1+a2+ +an）-（b1+b2+ +bn）
=（20×1.05+20×1.052+ +20×1.05n）-（7.5+9+ +6+1.5n）
=
=，
当n=5时，Sn≈63.5，
所以今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
18.【答案】证明详见解答； an=-（）n-1+2； 实数λ的取值范围（，）．
19.【答案】解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；
（II）若数列{an}：a1，a2，…，an的位差和E（a1，a2，…，an）=4，有如下两种情况：
情况一：当ai=i+1，ai+1=i，aj=j+1，aj+1=j，且{ai，ai+1}∩{aj，aj+1}= ，其他项ak=k（其中k {i，i+1，j，j+1}）时，有种可能；
情况二：当ai，ai+1，ai+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项ak=k（其中k {i，i+1，i+2}）时，有3（n-2）种可能；
综上，满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数为．
例如：n=5时，
情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4．
（III）将|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|去绝对值符号后，所得结果为±1±1±2±2±3±3±…±n±n
的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明：
=，
=．
此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1，2个2，…，2个和1个．
上面的讨论表明，题中所求的数列{an}：a1，a2，…，an是使得E（a1，a2，…，an）最大的数列，这样的数列在n=2k+1时，要求从1，2，…，n中任选一个数作为
ak+1，将剩余数中较大的k个数的排列作为a1，a2，…，ak的对应值，较小的k个数的排列作为ak+2，ak+3，…，a2k+1的对应值，
于是所求数列的个数为（2k+1）（k!）2．
综上，满足条件的数列的个数为
例如：n=5时，
E（a1，a2，a3，a4，a5）=．≤2（5+4）+3-3+2（2+1）=2[（5-2）+（4-1）]===
此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3．
若E（a1，a2，a3，a4，a5）=12，n=2k+1=5，此时k=2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，a2的对应值，
较小的2个数的排列作为a4，a5的对应值，于是所求数列的个数为5 （2!）2=20．
4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；
4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；
4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；
3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；
3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1．
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