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北京市第八十中学2025-2026学年第二学期4月阶段测试高二数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A. 函数在处取得极小值
B. 函数在处取得极大值
C. 在区间上单调递增
D. 当时，函数的最大值是
4.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的展开式中常数项是（ ）
A. B. C. D.
5.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（　　）
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
6.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（　　）
A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种
7.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
8.函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
9.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲、乙只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 16 B. 12 C. 9 D. 18
10.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，则下列说法正确的是（ ）①切线的方程为；②；③；④设，则.
A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.，则 ．
12.用0-9这10个数字,组成没有重复数字的三位数的个数为 .
13.某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于 .
14.若的展开式的二项式系数和为32，则 ，展开式中的系数为 .
15.中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团欲在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 ．
16.已知函数，则下列结论：①的极大值为；②存在无数个实数，使关于的方程有且只有两个实根；③的图象上有且仅有两点到直线的距离为1；④若关于的不等式的解集内存在正整数，则存在最大值，且最大值为，其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
已知函数．
(1)求曲线垂直于y轴的切线方程；
(2)求的极值
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围
18.(本小题25分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)设函数，当时，讨论零点的个数.
19.(本小题25分)
已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的零点为，的极小值点为，判断与的大小关系，并说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ；
15.【答案】
16.【答案】①④
17.【答案】解：（1），设切点为，
则，即，解得，
故，所以曲线垂直于y轴的切线方程为；
（2），令得，
故当时，，当时，，
故为的极小值点，的极小值为，无极大值；
（3），即，
，，只需，
令，则，
令得，，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
所以；

18.【答案】解：（1）因为，所以切点为，
又因为，
所以，
所以在点处的切线方程：，
即；
（2）令，
则，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
即，
所以；
（3），
所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以当时，，
此时只有一个零点；
当时，，
且趋于、时，趋于，
此时有两个零点；
综上，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.

19.【答案】解：（1）因为 ，则 ，
当 时，则 ，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递增，在 上单调递減，
（2）由（1）知 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以存在唯一的 ，使 ，
因为 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
又 ，
所以存在 ，使 ，
则当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 为 的极小值点，故 ，
由 可得 ，故 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又因为 ，且 在 上单调递增，
所以 .

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