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2026年湖北襄阳高新技术产业开发区第二中学等校九年级数学阶段性反馈
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，无理数是（）
A. 3.14 B. 0 C. 5 D.
2.2024年，我国可再生能源新增装机370000000千瓦.数据370000000用科学记数法表示为（　　）
A. 3.7×108 B. 3.7×109 C. 37×107 D. 0.37×109
3.“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
5.已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是（ ）
A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件
C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件
D. “某彩票的中奖率是20%，买10张彩票一定中奖”是必然事件
7.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（）
A. 3步 B. 6步 C. 9步 D. 12步
8.如图,点A、B、C在O上,BCOA,连接BO并延长,交O于点D,连接AC,DC.若A=,则D的大小为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，．以点B为圆心，适当长为半径作弧，交y轴于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线．点是点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10.二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
11.写出一个大于﹣3的有理数是 ．
12.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是 .
13.方程的解是 ．
14.如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题2分)
如图，和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连接交于点F，则
(1) 角的度数为 ．
(2) 若，，则 ．
17.(本小题5分)
如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，EF，CE．求证：四边形ACEF是矩形．
18.(本小题5分)
某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处；2．测量，两点间的距离；3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角；4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处；2．测量两点间的距离；3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶；4．测量两点间的距离；5．测量到地面的高度．
测量数据 1．；2．；3．． 1．；2．；3．．
备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．，均与地面垂直；3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内；2．，均与地面垂直；3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
19.(本小题15分)
每年11月9日是全国消防日．为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，满分为100分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95．
【整理数据】八年级20名学生测试成绩频数分布表：
成绩
人数 0 4 5 7 4
【描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）；
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 76.9 77.5 86 119.89
八年级 79.2 81 74 100.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图；
(2) 估计该校八年级参加测试的300名学生中成绩在80分及以上的人数；
(3) 请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价．
20.(本小题10分)
如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点．
(1) 求m，n，k的值；
(2) 若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限．
21.(本小题10分)
如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求线段的长．
22.(本小题10分)
某商店销售，两种水果.水果标价14元/千克，水果标价18元/千克.
(1) 小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共3千克，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克？
(2) 妈妈让小明再到这家商店买，两种水果，要求水果比水果多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买水果千克.
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现，两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折；一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折.（注：“打七五折”指按标价的75%出售.）若小明合计付款48元，求的值.
23.(本小题15分)
中，，将绕点A旋转得到，连接．
(1) 如图1，求证：；
(2) 如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长；
(3) 如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F．①求证：，②当时，直接写出的值．
24.(本小题15分)
如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1) 求b的值和点D坐标；
(2) 如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标；
(3) 将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S．
①求S关于n的函数解析式；
②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】解：
．

16.【答案】【小题1】

/60度
【小题2】


17.【答案】证明：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴AD+DE=CD+DF，
即AE=CF，
∴平行四边形ACEF是矩形
18.【答案】解：“测角仪”方案，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
“平面镜”方案，
，，，，
，
，即，
．

19.【答案】【小题1】
解：由题意可得：七年级在范围内的人数有（人），
补全直方图如下所示：
【小题2】
解：（人）．
答：估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数有人．
【小题3】
解：从平均数看，八年级学生测试成绩的平均数高于七年级平均数．所以八年级学生成绩好．
从中位数看，八年级学生测试成绩的中位数高于七年级．说明七年级学生成绩大 概有一半在以上，八年级学生成绩大概有一半在以上．所以八年级学生成绩好．
从众数看，七年级学生成绩为分的最多，八年级学生得分的最多．
（答案不唯一，符合题意即可）．

20.【答案】【小题1】
解：把代入中，可得，
解得，
此时一次函数的解析式为．
点在一次函数的图象上，
把代入，
解得，
，
又点在反比例函数的图象上，
将代入中，可得，
解得，
综上，；
【小题2】
解：由（1）知反比例函数解析式为，其图象在一，三象限，在每个象限内随的增大而减小．
已知，说明不在同一象限．
在第三象限值恒小于0，在第一象限值恒大于0，且，
位于第三象限，位于第一象限．

21.【答案】【小题1】
证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小题2】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：设种水果买了千克，种水果买了千克，由题意得：，解得：，答：种水果买了2千克，种水果买了1千克；
【小题2】
①设小明买水果千克，则小明买水果千克，由题意得：，解得：，又，的取值范围为；
②设小明买水果千克，则小明买水果千克，由题意得：，解得：，答：的值为1.25．

23.【答案】【小题1】
证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴；
∵点N为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A作于点H，则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴；
【小题3】
解：①∵点N为的中点，，
∴，
∴；
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于点T，
同理可得四边形是矩形，，
∴，
同理可得；
∵，
∴可设；
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴；
∵点N为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴；
如图所示，过点A作于点S，则，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，过点H作于点R，设，
∴，
∴；
在中，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点D的坐标为；
【小题2】
解：如图所示，过点E作于点F，
由（1）得抛物线的解析式为，
在中，当时，，则，
当时，则，
解得或，则，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得（已检验）或（舍去），
∴点E的横坐标为
【小题3】
解：①设抛物线L的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∵点P的纵坐标为n，
∴，
∴，
∴抛物线L的解析式为，
∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
由（1）得点D的坐标为，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，即轴，
∴；
②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则，
解得；
如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则，
解得，
由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点；
如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线；
如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则，
解得，
由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点；
如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时，
由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点，
∴，
∴，
综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或；
∵，
∴当时，，则，
∴
，
∵，
∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意；
当时，，则，
∴
，
∵，
∴当时，S随n的增大而增大，
∴当时，S随n的增大而增大；
当时，，则，
∴
，
∵，
∴当时，S随n的增大而增大，
∴当时，S随n的增大而增大；
综上所述，当或时，S随n的增大而增大，
∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大．

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