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21.3.1 矩形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
2．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线
3．如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）．
7．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框的一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．
8．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________．
9．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______．
10．如图，已知在中，，垂足为点H，，，以为边在外部作，，且，则的长是_______．
三、解答题
11．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，平分，求的长．
12．如图，在四边形中，，， ，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．
(1)当时，请指出四边形的形状，并说明理由；
(2)当_________时，四边形是平行四边形；
(3)从运动开始，当_________时，．
答案与解析
21.3.1 矩形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等；
解：如图，
∵两组对边的长度分别相等，，，
∴四边形为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，，
∴平行四边形为矩形．
故选择B．
2．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线
【答案】C
【解析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．
解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：C ．
3．如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接，可证四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，可求出的值，根据等面积法即可求出的值，由此即可求解．
解：如图所示，连接，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即线段有最小值，
在中，，，，
∴，
∵，
∴是斜边的高，
∴，
∴，
∴线段的最小值是，
故选：．
4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
5．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解．
解：由折叠的性质可知，，
，，
∵点在的延长线上，即、、三点共线，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴．
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案．
解：添加，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形．
7．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框的一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．
【答案】丁
【解析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误；
对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误；
一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误；
两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确；
故答案为：丁．
8．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________．
【答案】矩形
【解析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论．
解：平分，
，
同理，，
，
，
同理，
，
，
，
，
四边形是矩形．
9．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______．
【答案】
【解析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
解：点D，E，F分别是的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
故答案：．
10．如图，已知在中，，垂足为点H，，，以为边在外部作，，且，则的长是_______．
【答案】10
【解析】过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，，首先证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，利用勾股定理求得即可得的长．
解：如图，过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
三、解答题
11．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为
【解析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形；
（2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出．
证明：（1）四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2），，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为5．
12．如图，在四边形中，，， ，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．
(1)当时，请指出四边形的形状，并说明理由；
(2)当_________时，四边形是平行四边形；
(3)从运动开始，当_________时，．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)4
(3)2或8
【解析】（1）由题意可知，，，，据此即可求解；
（2）由题意可知，，，，根据四边形是平行四边形，得，据此列式计算即可求解；
（3）先计算出的范围，过A作，交于E点，在中，利用勾股定理求解即可．
解：（1）四边形是矩形，理由如下，
由题意可知，，，，
∵，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）由题意可知，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，即：，
解得：；
（3）∵P的总运动时间为，Q的总运动时间为，
∴由题意可得：的范围为：，
如图，过A作，交于E点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
解得：或8．
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