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(共23张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
1.通过实例，理解概率的性质.
2.能利用概率的性质与运算法则求随机事件的概率
1.古典概型的定义及概率公式
（1）古典概型的定义：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验.
（2）古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
2.事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生
并事件(和事件) A与B至少一个发生 或
交事件(积事件) A与B同时发生 或
互斥(互不相容) A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．
指数函数
定义域
值域
单调性
特殊点的函数值
定义
对称性
周期性
概率
定义
概率的取值范围
特殊事件的概率
事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系
……
类似地，可以从哪些角度研究概率的性质
概率的性质
性质1. 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即P(Ω)=1，P( )=0.
注：任何事件的概率在0~1之间： 0≤P (A)≤1
2.特殊事件的概率：
1.概率的取值范围：
思考1：当事件有某种特殊关系时，具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？
引例.掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“两次都正面朝上”，B=“两次都反面朝上”，则
（1）事件A和B的关系是______；
（2）计算P (A)= ，P (B)= ，P (A∪B)= ，你有什么发现？
互斥
发现：
样本空间Ω ={(正面,正面),(正面,反面),
(反面,正面),(反面，反面)}
性质3. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
推论: 若事件A1,A2,…,Am两两互斥,
则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
n(A∪B)=n(A)+n(B)
互斥事件的概率加法公式：
思考2：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系
要点归纳
性质4. 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1.
A和B互斥
和事件A∪B为必然事件，P(A∪B)=1
对立事件的概率
如：从10名同学(6男4女)中选3人，则P(至少有1男)=______________
1－P(3女)
1男2女
2男1女
3男0女
0男3女
间接法（正难则反）
思考2：古典概型中，对于事件A与事件B，如果A B，那么P(A)与P(B)有什么关系？
如：掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“点数为1”，事件B=“点数为奇数”
则P(A)_____P(B).
性质5. (概率的单调性)若A B，则P(A)≤P(B).
推论：对于任意事件A，0≤P(A)≤1.
≤
思考3： 在前面的摸球试验中，一个袋子中有大小和质地相同的2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从中不放回地依次随机摸出2个．
设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”,
则A∪B=“两个球中有红球”
这里n(A∪B)和n(A)+ n(B)相等吗 如何计算P(A∪B)
1
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1
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4
4
n(A∪B)=n(A)+n(B)－n(A∩B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
10
6
6
而.
性质3. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
n(A∪B)=n(A)+n(B)
该概率公式与性质3有什么不同？为什么？
n(A∪B)=n(A)+n(B)－n(A∩B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
该概率公式与性质3有什么不同？为什么？
A、B是两个随机事件
性质3. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
n(A∪B)=n(A)+n(B)
性质6. 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
性质3是性质6的特殊情况
两个事件的和 (并)事件的概率
要点归纳
1.(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)A、B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B). (　　)
(2)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1. (　　)
(3)若事件A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1. (　　)
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． (　　)
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　)
×
×
×
×
×
前提：互斥
掷骰子:A={1},B={1,3,5}
A={1},B={2},C={5}
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5}
A,B既不互斥也不对立
练一练
例1.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，
设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”， P(A)=P(B)= ，那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C)；
(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).
例2.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.
若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少
借助树状图来求相应事件的样本点数.
不中奖
中奖
中奖
不中奖
中奖
不中奖
你能想到哪些求解的思路？说一说.
正难则反
1
2
3
4
a
b
随机抽2罐，其样本点共30个，表示如下：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，
(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，
(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(4，b)，
(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，
(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，a)，
能中奖的样本数为18个，
法3：设不中奖的4罐记为1，2，3，4，中奖的2罐记为a，b，
2.将从1~20这20个整数中随机选择一个数，设事件A=“选到的数能被2整除”，事件B=“选到的数能被3整除”，
求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除.
练一练
针对以下两个问题，谈谈本节课你的收获.
1.概率的基本性质有哪些？
2.求随机事件概率的方法？
性质1 对任意的事件A，都有P(A) ≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am
发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和 , 即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).
性质5(概率的单调性) 如果A B，那么P(A)≤P(B)，0≤P(A)≤1.
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
1.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为1/3，得到黑球或黄球的概率是5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，
P(B∪C)=P(B)+P(C) =
5
12
P(C∪D)=P(C)+P(D) =
5
12
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =
2
3
P(B)=
1
4
P(D)=
1
4
P(C)=
1
6
2.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现1，2，3，4，5，6的概率都是六分之一，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)
此题易错解，原因是把事件和事件看成是互斥的.
解：记事件“出现1点” “出现2点” “出现3点” “出现5点”分别为M , N , P , Q，由题意可知这4个事件彼此互斥.
P(A∪B)=P(M)+P(N)+P(P)+P(Q)= ×4=
1
6
2
3
3. 甲，乙两人下棋，和棋的概率为1/2，乙获胜的概率为1/3，求：
（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率.
分析：甲乙两人下棋，其结果有甲胜，和棋，乙胜三种，它们是互斥事件.
解: (1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲获胜的概率是 P =1─ ─ = .
(2)解法1:“甲不输”看作是“甲胜”，“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P = + = .
解法2：“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，
所以甲不输的概率 P=1─ = .

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