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10.1.3 古典概型
1.理解古典概型概念及其概率计算公式.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
通过试验和观察的方法，我们可得到一些事件的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上的概率为0.5。
想一想：掷一枚硬币，正面向上的可能性有多大？我们是如何得出结论的呢？
能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
试验2：掷一颗质地均匀的骰子一次,出现的结果：
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次,出现的结果：
2种
正面朝上
反面朝上
6种
1点
2点
3点
4点
5点
6点
特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
试一试1: 找出下列试验的样本点及样本空间的共性.
特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
（一）古典概率
1.判断下列概率模型是否是古典概型：
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)从区间[1,10]内任意取出一个整数，求取到2的概率；
(3)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(4)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率。
(5)某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、
“命中5环”和“不中环”。
不符合有限性
不符合等可能性
是
古典概型的判断要点：①有限性、②等可能性.
是
不符合等可能性
练一练
思考1：考虑下列的随机试验，如何度量事件和发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件=“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件=“恰好一次正面朝上”；
1.这两个试验有怎样共同特点？
2.我们如何计算出它的概率？
对于(1)，3班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.
样本空间中有40个样本点
事件A=“抽到男生”包含18个样本点
事件发生的可能性大小，取决于事件包含的样本点在样本空间的样本点中所占的比例大小，故可用事件包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量．
对于（2）：用1表示硬币“正面朝上”，0表示“反面朝上”，
样本空间
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型。
因为，
所以事件发生的可能性大小为
（二）古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型（前提条件），
样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。
则定义事件A的概率
例1 单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，
试验的样本空间表示为Ω={A，B，C，D}，则n(Ω)=4
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，这是一个古典概型．
设事件M=“选中正确答案”，因为单选题的正确答案是唯一的，则n(M)=1，
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
它是古典概型吗？如何求概率？
思考2：在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有一个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
分析：在多选题中有15个可能结果，
试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}．
假设该考生不会做，在他答对任何答案是等可能的情况下，
他答对的概率是1/15，比单选题答对的概率1/4小得多，所以多选题更难答对．
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解：该试验的所有样本点用树状图表示如下：
则样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}，共有36个样本点.
由于骰子质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，
因此这个试验是古典概型.
1
2
3
4
5
6
1
2
2
3
4
5
6
1
3
2
3
4
5
6
1
4
2
3
4
5
6
1
5
2
3
4
5
6
1
6
2
3
4
5
6
1
6×6=36
你还有什么方法将样本空间表示出来？
则样本空间，共有36个样本点.
由于骰子质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，
因此这个试验是古典概型.
列表格
列表法一般适用于分两步完成的结果的列举。
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”
解：(2)∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，∴n(A)=4.
∵B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，∴n(B)=6.
∵C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)}，
∴n(C)=15.
思考3：在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
分析：如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种结果，和是5的结果有2个,它们是(1,4)和(2,3)，
则A={(1,4),(2,3)}，∴n(A)=2.
思考4：同一事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率.
（1）用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果或样本空间（借助树状图或列表，不重不漏）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
关键词：质地均匀、随机选择
（3）计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)，
求出事件A的概率P(A).
求解古典概型问题的一般思路：
注：无论是同时掷还是先后掷两个骰子，都必须先对两个骰子加以标号，区分顺序，以保证每个样本点的等可能性.
方法归纳
例3 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)“第一次摸到红球”；
(2)“第二次摸到红球”；
(3)“两次都摸到红球”.
提示：
（1）判断是否是古典概型
（2）先列出样本空间，在进行计算
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行)，即
，
所以
(2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2列)
即
所以
(3)事件包含2个可能结果，即，所以.
2.从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为（ ）
事件A
5×5=25
练一练
A
3.(多选)一个不透明的袋子中装有6个小球,其中有4个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同,则下列结论正确的有 (　 　)
A.若一次摸出3个球,则摸出的球均为红球的概率是
B.若一次摸出3个球,则摸出的球为2个红球,1个白球的概率是
C.若第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再摸出一个球,则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D.若第一次摸出一个球,不放回袋中,再摸出一个球,则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
BC
练一练
例4 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例
分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
设事件A= “抽到两名男生”
抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。
抽样类型 总样本的个数 事件A包含的样本点 P(A)
有放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
按性别等比例 分层抽样
4×4=16
4×3=12
2×2=4
(B1,B1),(B1,B2),
(B2,B1),(B2,B2)
(B1,B2),(B2,B1)
抽样类型 总样本的个数 事件A包含的样本点 P(A)
有放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
按性别等比例 分层抽样
2×2=4
例4从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例
分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：记第一次抽取的人为X1，第二次抽取的人为X2，用(X1, X2)表示样本点.
①有放回简单随机抽样的样本空间：
Ω1= {(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),
(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
②不放回简单随机抽样的样本空间：
Ω2= {(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),
(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}
③按性别等比例分层抽样(先抽1名男生,再抽1名女生)的样本空间：
Ω3= {(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}
设事件A= “抽到两名男生”
抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高问题，简单随机抽样使总体中每个个体都有相等的机会被抽中。
因为抽样的随机性，有可能出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.上述计算表明，在总体男、女人数相等的情况下，用有放回简单随机抽样时，出现全是男生是概率最大，不放回简单随机抽样时次之，在按性别等比例分层抽样时全是男生的概率是0，真正避免了这类极端样本的出现.
所以，改进抽样方法对于提高样本代表性很重要.
题后总结
思考：结合例4中三种抽样方法计算出的概率，你对抽样方法对样本数据的影响有怎样的认识？
1. 古典概型的特点： (1)有限性; (2)等可能性.
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3. 求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
2. 古典概型概率计算公式：
本节课你学到了哪些知识？

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