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10.1.2 事件的关系和运算
1.理解事件的关系或运算的含义，能对事件类型作出正确的判断.
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
想一想：抛掷一枚骰子，记事件A“出现奇数点”，事件B“出现偶数点”，事件A与事件B有什么关系？能否同时发生？
在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
试一试1 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，请用集合的形式表示这些事件.
“点数为”;
=“点数不大于3”；=“点数大于3”；
=“点数为1或2”；=“点数为2或3”；
“点数为偶数”；“点数为奇数”；
事件的关系与运算
事件
事件
事件
事件
事件
事件.
试一试2 类比集合的知识（交、并、补），观察下列这些事件有怎样的关系
事件
事件.
显然，如果事件发生，那么事件一定发生.
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即.
这时我们说事件包含事件.
Ω
Ω
1.若事件发生，则事件一定发生，则称事件包含事件(或事件包含于事件)
记作(或)．
Ω
2.如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作.
要点生成1
包含关系
事件
事件
事件.
可以发现，事件和事件至少有一个发生，相当于事件发生.
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即
这时我们称事件为事件和事件的并事件.
Ω
Ω
事件与事件至少有一个发生，且事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，
则称事件为事件与事件的并事件(或和事件)
记作(或)
要点归纳2
并事件(或和事件)
事件
事件
事件
Ω
可以发现，事件和事件同时发生，相当于事件发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即.我们称事件为事件和事件的交事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与事件B的交事件(或积事件）.
Ω
记作(或)
要点归纳3
交事件(或积事件）
事件
事件
事件与事件不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是，即，
这时我们称事件与事件互斥.
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容).
要点归纳4
试一试3 事件,事件，它们的集合形式是什么？它们是互斥事件吗？你还发现了什么？
它们是互斥事件，并且我们还发现：
事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，则称事件与事件互为对立.
事件的对立事件记为.
Ω
A
A
—
，且
集合与集合的补集之间的关系！
互为对立
要点归纳5
注意：互为对立事件一定是互斥事件.
互斥事件不一定互为对立.
互为对立事件
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A B= ，A B=Ω
注：可以定义多个事件的(并)和事件、(交)积事件.
如：对于三个事件A,B,C，
A∪B∪C发生当且仅当A,B,C至少有一个发生；
A∩B∩C发生当且仅当A,B,C同时发生.
[1]同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有（ ）
A. A B B. A B C. A=B D. A[2]现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为________.
[3]从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是(　　)
A.{2,4}　　　B.{4,6} C.{4,8}　　　D.{2,8}
A
B∪D∪E
C
{正正} {正正,正反,反正}
练一练
[4]在抛掷一枚骰子,观察其向上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”，则事件A∪B包含的样本点为________.
1,2,3,4
A={2,4}
B={1,2,3}
练一练
例1.如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.
设事件，.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件，以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
解：(1)用分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间
.
(2)依据题意，可得
.
(3)
表示电路工作不正常；和互为对立事件.
例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件，，，，，.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件与，与，与之间各有什么关系？
(3)事件与事件的并事件与事件有什么关系？事件与事件的交事件与事件有什么关系？
提示：仿照例1，先写出相应的样本空间，表示各事件，再找事件间的关系.
解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
事件即或
于是.
事件即或
于是.
同理，有，，
(2)因为，所以事件包含事件；
因为，所以事件与事件互斥；
因为，，所以事件与事件互为对立事件.
(3)因为，所以事件是事件与事件的并事件；
因为，所以事件是事件与事件的交事件.
议一议：结合例题1、2，你能总结判断事件关系的方法吗？
[5]某人打靶时连续射击2次，下列事件中与事件“至少有一次中靶”的互为对立的是( ).
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
[6]把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
D
B
D
练一练
[7]从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)
A.“至少有1个红球”与“都是黑球”
B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D.“都是红球”与“都是黑球”
D
练一练
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生
并事件(和事件) A与B至少一个发生 或
交事件(积事件) A与B同时发生 或
互斥(互不相容) A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生
本节课我们学到了哪些知识与方法？
1.事件的关系和运算
（1）在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．
写样本空间的样本点时，要按一定顺序和规律写，做到补充不漏．
（2）写出试验的样本空间的方法：
列举法：适合于较简单的问题．
列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数．
树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
2.基本事件的计数问题
3.随机事件与集合之间的关系

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