资源简介

10.1.1 有限样本空间与随机事件
许多实际问题都可以用数据分析的方法解决：随机抽样收集数据—选择图表描述数据---提取数据的信息——估计总体规律.
样本量较小时，每次得到的结果可能不同，但是如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律.
例如：你每天记录从家里到学校的时间（精确到分）不可预知；如果你记录一周，你会发现每天所用的时间各不相同；但你记录一个月、一个学期甚至更多，此时你通过数据分析就可以发现，所用的时间具有相对的稳定分布规律.
1.统计的数学意义
某些现象就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象，是概率论研究的主要对象，概率是对随机事件发生可能性大小的度量，渗透在我们日常生活中.
刻画随机事件的方法
古典概型随机事件概率的计算
随机事件概率的性质
重点
研究
2.随机现象与概率论
1.结合实例，理解样本点、样本空间的含义，会表示试验的样本空间.
2.理解随机事件与样本点的关系，会用集合表示随机事件.
3.了解必然事件、不可能事件的概念，会对事件进行分类.
（一）随机试验
例如：
1.将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；
2.从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；
3.在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
4.从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；
5.记录某地区七月份的降水量.
确定某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.
问题1：随机试验与随机现象有什么关系，如何研究呢？
随机试验：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验.通常用字母????表示.
?
随机试验的特点:
(1)试验可以在相同条件下重复进行；（可重复性）
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（可预见性）
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.（随机性）
要点生成1
问题2： 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？（尝试说一说）
共有10种可能结果.
所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
?
（二）样本空间的有关概念
随机试验????的每个可能的基本结果称为样本点，用????表示.
?
1.所有样本点的集合称为试验????的样本空间，用????表示
?
2.若一个随机试验有????个可能结果????1，????2，…，????????则称样本空间????={????1，????2，…，????????}为有限样本空间.
?
3.样本点是随机试验的每个可能的基本结果（集合的元素）
样本空间是全体样本点的集合.（集合）
要点生成2
共有10种可能结果.
所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
?
10个样本点
????=
?
（1）抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上；
（2） 抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数；
（3）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况；
例1 分别写出以下3个试验的样本空间，讨论表示样本空间的方法.
（1）因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为???? =(正面朝上，反面朝上）,如果用?表示“正面朝上”，????表示“反面朝上”，则样本空间???? ={?,????}.
?
（2）Ω={1,2,3,4,5,6}
（3）第一枚硬币可能的基本结果用????表示，第二枚硬币可能的基本结果用????表示，那么试验的样本点可用（????,????)表示.
于是，试验的样本空间Ω ={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}
?
画树状图帮助理解解答过程
方法：
(1)利用集合表示样本空间；
(2)借助列举法、图表法 、树状图方便理解.
1
0
1
0
1
0
第一枚
第二枚
（3） 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况；
用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”
????={(1，1),（1，0），
（0，1)，(0，0)}.
?
1.快速写出下列各随机试验的样本空间.
（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
（4）射击靶3次，观察各次中靶或脱靶的情况；
（5）射击靶3次，观察中靶的次数；
Ω={男，女}
Ω={A,B,O,AB}
Ω={男男，男女，女男，女女}
Ω={aa,ab,ba,bb}，其中，a表示“男孩”，b表示“女孩”
Ω={0,1}，其中，0表示“男生”，1表示“女生”
Ω={0,1,2,3}
Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
其中，1表示“中靶”，0表示“脱靶”
B={至多中靶2次}
“1，0”有怎样的应用价值？
练一练
说一说：在体育彩票摇号实验中,球分别标号0，1，2，…，9.
（1）摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？
（2）摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？
（3）如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
（三）随机事件和基本事件
用A表示随机事件“球的号码为奇数”，
则A={1,3,5,7,9}
Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则B={0,3,6,9}
A,B都是Ω的子集
都是随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
将样本空间????的子集称为随机事件，简称事件，用大写字母????,????,????…表示；
只包含一个样本点的事件称为基本事件.
?
随机事件和基本事件
要点生成3
例2.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
析：用1表示元件的“正常”状态，
用0表示元件的“失效”状态，
分别用x1, x2, x3表示元件A, B, C的可能状态，
则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示.
样本空间Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),
(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
如何快速表示呢？
借助树状图，帮助列出试验的所有可能结果.
例2.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.
样本空间Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),
(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}
T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}
2.写设集合M={1,2,3,4}，a∈M，b∈M，试验的样本点为(a,b)，则样本点的个数为（ ）
A.6 B.8 C.12 D.16
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
D
练一练
3.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a,b，设事件M为“方程ax2+bx+1=0有实数解”，则事件M中含有的样本点的个数为（ ）
A.6 B.17 C.19 D.21
B
练一练
4.集合A={2,3}，集合B={1,2,4}，从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为(　　)
A.8 B.9 C.11 D.12
基本事件为21,22,24,31,32,34,12,42,13,23,43
C
5.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点(x,y)用表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数，用集合A表示事件“出现的点数之和大于8”.
(法一：列举法)试验的样本空间为：
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(法二：列表法)
(法三：树状图法)
在每次试验中，当且仅当????中某个样本点出现时，称为事件????发生.
?
Ω包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
空集????不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称空集????为不可能事件.
?
注：（1）必然事件与不可能事件不具有随机性.
（2）将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
（3）每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
（四）事件的分类
随机事件:
样本空间的子集
基本事件：(单元素集)
只包含一个样本点的事件
必然事件(全集)
不可能事件(空集)
随机事件与样本空间的关系
6.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的永动机将会出现.
随机事件
必然事件
不可能事件
随机事件
随机事件
不可能事件
练一练
7.在10件同类产品中，有7件正品，3件次品，从中任意抽出4件，
下列事件中的随机事件有_____，必然事件有___，不可能事件有____．
① 4件都是正品； ② 至少有1件是次品；
③ 没有正品； ④ 至少有1件是正品．
①②
④
③
练一练
有限样本空间与随机事件
随机现象
随机试验
样本点
样本空间
随机事件
必然事件
不可能事件
列举法
列表法
树状图
问题：这节课我们学习了哪些知识？请梳理本节课知识框图

展开更多......

收起↑