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10.3 课时2 复数三角形式的乘除法
第十章 复数
1.理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义.
2.能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题.
探究1：复数乘、除运算的三角形式及其几何意义.
设z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)
（1）在复平面内作出z1、z2；
（2）求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式.
z1z2＝r1(cos θ1+isin θ1)×r2(cos θ2+isin θ2)
＝r1r2［(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)］
＝r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］
即两复数相乘，积的模等于各复数的模的积，
积的辐角等于各复数的辐角的和.
(简记为：模数相乘，幅角相加).
复数三角形式的乘法法则：
问题2：由复数乘法运算的三角表示，结合上述图像，思考讨论在复数平面内，复数乘法运算的三角表示有什么几何意义？
设z1，z2对应的向量分别为 ，将 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把 绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把 的模变为原来的r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.
复数乘法的几何意义：
特别地，如果n∈N，则：
计算 ，说说这两个复数相乘的几何意义.
解：
因为 ，所以一个复数与i相乘，从向量角度，相当于把此复数对应向量绕原点沿逆时针方向旋转 ，如图所示.
探究2：复数三角形式的除法运算及其几何意义
1.如果非零复数z的三角形式为： ，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出 的三角形式，并写出 的值.
若非零复数 ，则-θ是 的一个辐角，
因此 ，
一般地，如果非零复数 ，则-θ是 的一个辐角，
因此
2.已知 ，根据 ， 的三角表示是怎样的？
由 得 即
3.复数 ，求出 ，并用文字语言来表述复数除法的三角表示公式.
即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
(简记为：模数相除，幅角相减).
复数三角形式的除法法则：
思考：由复数除法运算的三角表示，讨论在复数平面内，复数除法运算的三角表示有什么几何意义？
注：任意一个复数除以i，从向量角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转 ，如图所示.
设z1，z2对应的向量分别为 ，将 绕原点O旋转θ2(当θ2>0时，按顺时针方向旋转角θ2，当时θ2<0，按逆时针方向旋转角|θ2|)，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 则对应的复数为 .
复数除法的几何意义：
例1.求 的值.
例2.如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：
证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图
所示的平面直角坐标系，确定复平面.
所以存在整数k，使得
由于α，β，γ都是锐角，于是k =0，从而
而
由平行线内错角相等知α，β，γ分别等于3+i，2+i，1+i的辐角主值，
因此α+β+γ应该(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角，
又因为(3+i)(2+i)(1+i)=(5+5i)(1+i)=10i，
根据下列关键词，构建知识导图.
“复数乘、除法三角形式”、“复数乘、除法几何意义”.
复数乘、除的三角表示式及其几何意义
复数乘法的三角
表示及几何意义
复数除法的三角
表示及几何意义

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