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10.2.2 课时2 复数的除法与实系数方程解集
第十章 复数
1.理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算.
2.会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
探究1：复数的除法运算.
如果复数z≠0 则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作：
(或 ).其中，z1称为被除数，z2称为除数.
复数除法运算的两个性质：
利用复数除法的定义，可以证明当ω为非零复数时，有
1.设实数满足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程组求a,b的值.
根据复数乘法有
所以 解得
思考：由除法可知a+bi= ，又问题1得a+bi的一般式为 ，如何把 化成一般式 ？
∵(1+2i)(1-2i)=5，
∴
(提示：，即，对比“=”两边，如何将化成5？)
上面这种方法称为“分母实数化”.
3.规定 (其中z≠0，n是正整数).
1.一般的给定复数z≠0称 为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.
2.复数除法的一般计算公式为：
求 的值.
解：
探究2：求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
问题1：我们知道，虚数单位i是方程x2=1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？
因为 ，所以x2=-1在复数内的解集为{i，-i}，
问题2：如果实数a>0,那么方程x2=-a在复数范围内的解集是什么？
当a>0时，可得 ，
所以方程x2=-a在复数范围内的解集为，.
问题3：如何在复数范围内求方程 的解集.
因为 ，
所以原方程可以化为 ，
从而可知 或 ，
因此 或 ，
所求解集为 .
(提示：)
思考：在复数范围内，方程 （其中a,b,c∈R,且a≠0, =b2=4ac<0）的根是什么？
将 的二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，即 .
由 <0，知 ，可得 .
所以原方程的根为 .
当a，b，c∈R且a≠0时，关于x的方程 称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且
(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：
注：
(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根：
在复数范围内解方程：9x2+16=0.
解：由题可知 ，
又因为 ，
所以 .
根据下列关键词，构建知识导图.
“除法运算”、“复数集内实系数一元二次方程求根公式”.

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