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10.2.2 课时1 复数的乘法
第十章 复数
导入：我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a,b,c∈R时，有
c(a+b)=ac+bc
而且，实数的正整数次幂满足
aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn，
其中m,n均为正整数，那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？
1.掌握复数的乘法法则及运算律.
2.掌握复数的乘法公式、复数的正整数幂的运算律
以及in的周期性规律.
探究1：复数的乘法法则及运算律.
1.设z1=3,z2=1-2i,z3=-5i,计算z1z2与z2z3的值.
思考：任意两个复数z1=a+bi与z2=c+di相乘，它们的表达式怎么表示？
一般地，设z1=a+bi与z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的和，并规定
z1z2 =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
显然，两个复数的积仍然是复数.
即算两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2=-1即可.
满足
又因为
所以z1·z2=z2·z1，所以满足乘法的交换律.
复数乘法的结合律和乘法对加法的分配律同理可证.
思考：设z1=a+bi，z2=c+di，复数乘法是否满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律呢 请证明你的猜测.
以乘法的交换律为例.
复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数对任意z1，z2，z3∈C，有
(交换律)
(结合律)
(乘法对加法的分配律).
已知复数z1=3+4i,z2=3-4i，则z1·z2=( )
A．16i　　　　B．9 C．25i D．25
D
解析：
探究2：复数的乘法公式、复数的正整数幂的运算律以及in的周期性规律.
1.已知a，b∈R，求证： .
证明：根据复数乘法的定义有：
思考：根据上述证明，说说共轭复数的乘积可以怎么表示？
共轭复数的乘积等于其模的平方：
2.计算(1+i)2与(1-i)2的值.
1.复数乘法在计算过程中还是按照多项式乘法的方式进行，其中多项式运算中的代数公式也适用于复数的乘法，包括：
2.等式两边同乘一个复数，等式仍然成立，即当z1=z2时，必定有z1z=z2z.
完全平方公式：
平方差公式：
例如：
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即
实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即
(其中z1，z2∈C，m、n为正整数)
根据复数正整数指数幂的乘方运算法则，计算 的值，并总结出 的取值规律.
in的周期性规律:
根据下列关键词，构建知识导图.
“乘法运算”、“乘法公式”、“共轭复数”、“正整数幂”

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