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10.1.2 复数的几何意义
第十章 复数
1.理解复数代数表示的几何意义.
2.理解复数的模，共轭复数的概念.
3.能应用复数的几何意义、模的知识解决相关问题.
1.回忆复数相等的充要条件是什么？由此你认为复数a+bi由什么唯一确定？
(1)若复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d；(2)复数a+bi由一个有序实数对(a，b)唯一确定.
2.类比实数与数轴上的点的一一对应关系以及有序实数对与平面直角坐标系中点的关系，复数在几何中用什么来表示？
如图，点Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z＝a+bi可以用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
例如，复平面内的原点(0，0)表示0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，-1)表示纯虚数-i，点(-2，3)表示-2+3i.
探究1：复数代数表示的几何意义.
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a，b)
一一对应
几何意义
由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系：
思考：在平面直角坐标系中，平面向量 可以用有序实数对(2，3)来表示，而有序实数对与复平面是一一对应的.如何用平面向量来表示复数z=3+2i？
如图，设复平面内的点Z表示复数z=3+2i，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定;反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立
了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
复数z=3+2i
平面向量
一一对应
如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a+bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
复数z=a+bi
平面向量
一一对应
这是复数的另一种几何意义，为方便起见，常把复数
z＝a＋bi说成点Z或向量 .
1.设复数
(1)在复平面内画出z1，z2对应的点和向量
如图，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，
对应的向量分别为
探究2：复数的模与共轭复数
问题：设复数z＝a+bi，则什么是复数z的模，如何表示？其模长公式是什么？
注：如果b=0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值).
向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即
其中a，b∈R.
1.设复数
(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.
所以|z1|=|z2|.
解：
2.观察前面“练一练”中的复数的实部和虚部，以及其在复平面中的图象，你有什么发现？
二者实部相同，虚部相反，且在复平面中图像关于实轴对称.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么 .
显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
注意：特别的，任意实数的共轭复数是其本身，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
思考：设z=a+bi，其共轭复数 ，则
(1) 等于什么？
(2)若 或 且z≠0，你能发现什么特点？
1.两个共轭复数的模相等，即 ；
2.若 ，则z为实数；
3.若 且z≠0，则z为纯虚数.
探究3：应用复数的几何意义、模的知识解决相关问题.
1.设复数z1=3+4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为 ；
复数在z2复平面内对应的点为Z2，对应的向量为 .已知Z1与Z2关于虚
轴对称，求z2，并判断 与 的大小关系.
由题意知Z1(3，4)，又因为Z1与Z2关于虚轴对称，所以z2(-3，4)，
从而有z2=-3+4i，因此 .
又因为 所以 .
思考：能否再写出一个负数z3，使得z3对应的向量 与 的模相等？
归纳总结
复数z1=a+bi在复平面上的对应点的点为Z1，复数z2在复平面内对应的点为Z2：
(1)若Z1，Z2关于实轴对称，则z2=a-bi；
(2)若Z1，Z2关于虚轴对称，则z2=-a+bi；
(3)若Z1，Z2关于原点对称，则z2=-a-bi；
这三种对称的两个向量的模相等.
2.设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示.
(1) ； (2) .
(1)由|z|=2可知向量 的长度等于2，即点Z到原点的距离始终等于2，因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图(1)所示.
(2)不等式1<|z|≤3等价于不等式组
因为满足|z|≤3的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部;
而满足|z|>1的点Z的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括外边界但不包括内边界).
如图(2)所示.
根据下列关键词，构建知识导图.
“复平面”、“复数的几何意义”、“共轭复数”

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