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10.1.1 复数的概念
第十章 复数
问题1：观察上述数系扩充过程，说说为什么要进行数系扩充？
问题2：在上述数系扩充的过程中，它们遵循什么运算律？
扩充后的数集规定的加法运算、乘法运算，与原来数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
问题3：x2=-1的方程在实数范围内有解吗？
1.通过方程的解，体会数系扩充的必要性，理解复数的相关概念及代数表示.
2.理解复数的分类及复数相等的充要条件.
探究1：复数的相关概念及代数表示.
1.观察下列三次方程的分解因式，你发现它们都有几个正根？
因式分解：
(1) x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0；
(2) x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4=4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0.
均有唯一的正根4.
2.人们早在16世纪就发现，可以通过求根公式
(1)x3=9x+28；(2)x3=15x+4
(1)
(2)由问题1，可知 成立，但是不能
由公式直接计算得出.
求解三次方程x3=px+q(p，q均为正实数)的正根，利用它直接计算，
上述方程的正根.
3.如果规定 ，将 按照类似实数的运算法则进行形式计算，如何解释 ？
所以可以认为
类似地，可以认为
从而形式上有
4.怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i？5与i的乘积可以怎样表示？
2+i；3-i；5i.
思考：2+i，3-i，5i在形式上有什么共同特点？
一般地，为了使得方程x2=-1有解，人们规定i的平方等于-1.
即i2=-1，并称i为虚数单位.
注意：虚数单位i与上述 表示的意义是一样的，但是，为
了避免混淆，如不特别声明，以后不再使用类似 这样的表达式.
即在 中，还是要求a≥0.
1.实数与i进行四则运算时，加法、乘法运算律仍然成立：
(1)实数a与i的和记作a+i，实数0与i的和为i；
(2)实数b与i的积记作bi.
注：实数0与i的积为0，实数1与i的积为i.
2.复数：形如a+bi的数(a，b是实数).复数一般用小写字母z表示，即
其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作
复数全体组成的集合叫复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此
z=a+bi (a，b ∈ R)
Re(z)=a，Im(z)=b.
C={ z| z=a+bi ，a，b∈R}
说出下列复数的实部与虚部.
-1+2i ， 2-3i， 2022 ， i ， 0 .
探究2：复数的分类.
对于复数a+bi(a，b∈R)，
当且仅当b=0时，它是实数；
当b≠0时，它叫虚数；
当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.
解：(1)当x+3=0，即x=-3时，复数z是实数.
(2)当x+3≠0，即x≠-3时，复数z是虚数.
(3)当x-2=0，且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数.
思考：纯虚数集、虚数集、实数集、复数集四者的关系是怎样的？
用维恩图(Venn)如何表示？
探究3：复数相等的充要条件.
1.类比向量坐标相等的概念，猜想复数 a+bi、c+di 如何才能相等？
如果两个复数z1、z2的实部和虚部分别相等，那么这两个复数相等，
记作z1=z2，即若在复数集中任取两个数a+bi，c+di (a，b，c，d∈R)
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小；若两个复数
可以比较大小，则这两个复数必定都是实数.
1.若复数 ，则x，y的值分别为( )
A.x=-4，y=-2 B.x=4，y=-2 C.x=-4，y=2 D.x=4，y=2.
B
2.若复数(x+y+1)-(x-y+2)i=0，则x，y的值分别为( )
A. B.
C. D.
B
根据下列关键词，构建知识导图.
“数系扩充的基本规则”、“复数的基本概念”、
“两个复数相等的含义”、“复数的分类”.

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