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9.2 课时2 正弦定理与余弦定理的应用——距离与动态问题
第九章 解三角形
1.能应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题.
2.能应用正、余弦定理解决运动变化过程中蕴含的解三角形问题.
探究1：应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题.
如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D这4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=45°，∠BCD=30°，∠CDA=45°，∠BDA=15°，CD=100m ，求AB的长.
解：因为A，B，C，D4点在水平面上，所以
因此∠CBD=180°-30°-60°=90° ，
在△ACD中，因为∠CAD=180°-45°-30°-45°=60°
由正弦定理可得：
因此
所以在Rt△BCD中，
在△ABC中，由余弦定理可知
从而
1.解决三角形中与距离有关的问题的关键：转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
2.测量两个不可到达的点之间的距离：一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形边长问题，然后把求未知的另外两条边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．
如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离,已知山高AB=1km,CD=3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC=150°，则两山顶A，C之间的距离为( ).
A． B．
C． D．
A
在△ACE中，由余弦定理得
即两山顶A，C之间的距离为
解析：
探究2：应用正、余弦定理解决运动变化过程中三角形问题.
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A 300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为 ，将问题涉及范围内的地球表面看出平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响，如果会，求出受影响的时间，如果不会，说明理由.
城市与台风中心间距离小于等于台风半径，便受影响；影响时间为台风经过城市的时间差.
设台风中心x h后到达位置Q,如图所示.
在△AQP中，P=30°，AP=300km，PQ=20x km，
由余弦定理得AQ2=AP2+PQ2-2AP×PQ×cos P.
当AQ ≤100 km时，城市A受到台风影响，代入化间得
即城市A会受到影响，受影响时间为
x2-15 x+150≤0，解得
300km
v=20km/h
A
Q
P
30°
60°
一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为 海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．6海里 B．12海里 C．6或12海里 D． 海里
解析：记轮船最初位置为A,灯塔位置为B,20分钟后轮船位置为C，如图所示.
由题意得
则
即
解得：AB=6，即灯塔与轮船原来的距离为6海里.
A
思考：结合上述任务及上一课时的任务，小组讨论如何利用正余弦定理解决实际问题，其步骤是怎样的？
审题
阅读问题，理解问题的实际背景、有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量之间的关系
求解
应用余弦定理和正弦定理以及其他知识解出三角形的来知量，求的数学模型的解
建模
根据题意画出示意图；将实际问题抽象、概括并转化为解三角形问题的数学模型
还原
检验所求的解是否符合实际意义，并将三角形中的解还原为实际问题的答案
利用正余弦定理解决实际问题的步骤：
回答下列问题，构建知识导图.
1.正、余弦定理的实际应用有哪些？
2.正、余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？

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