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陕西兴平市西郊高级中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．复数（其中i为虚数单位）的模为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．1
2．若，，，，则（ ）
A．p，q均为真命题 B．，均为假命题
C．，均为真命题 D．p，q均为假命题
3．若为奇函数，则函数的图象关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称
4．已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的单调递增区间为
D．图象的对称中心的坐标为
6．在中，设内角，，的对边分别为，，．若，，成等差数列，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道：无限循环小数可以表示为分数．例如，证明过程如下：令，则，所以，所以，解得，所以．同理，某些正无限不循环小数（正无理数）可以表示为连分数．若正无理数满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，为随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则，相互独立
B．若，，，则
C．若，则
D．若，，，则
10．若双曲线的右焦点为，为上任意一点，为圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．两条渐近线夹角的正切值为 B．与有公共点
C．的最大值为 D．的最小值为
11．在棱长为4的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点B到平面的距离为
C．与平面所成角的正切值为
D．若点P在正方体的表面运动，且，则点P的轨迹总长度为
三、填空题
12．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________．
13．已知且：，则的最大值为_________．
14．已知，，则的取值范围是_________．
四、解答题
15．如图，在四棱台中，，四边形为平行四边形，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若四边形为正方形，平面，，求平面与平面夹角的余弦值．
16．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表．
单位：人
体验 性别 合计
青年男性 青年女性
较好 200
一般 100
合计
(1)求出x，y的值；
(2)试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
(3)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”．
(1)若是“数列”，求的值；
(2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由．
18．已知函数，且．
(1)求的定义域和极大值点．
(2)当时．
①判断在上的单调性，并证明；
②证明：当时，．
19．对于抛物线和点，若上存在不同的两点，，使得，且的倾斜角不等于，则称是的“—圆点”，线段是的“—圆弦”．设抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点为上一点，，，．
(1)求的方程；
(2)判断是否存在“—圆点”？请说明理由；
(3)设“4—圆弦”中点的轨迹与轴交于点，点关于原点的对称点为，过点作直线与交于，两点，求证：．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．C.
5．D
6．D
7．C
8．B
9．ABD
10．AD
11．AB
12．
13．/
14．
15．（1）连接.
四棱台中，四边形为平行四边形，
则平面平面，且四边形为平行四边形.
又为棱的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，，平面，所以，.
又四边形为正方形，所以，即，，两两垂直.
以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，令，
则，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，所以.
又，，，所以平面，
所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．（1）由题意，得，解得．
（2）由（1）得，
体验 性别 合计
青年男性 青年女性
较好 120 80 200
一般 30 70 100
合计 150 150 300
所以该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率，对于青年男性为，
对于青年女性为，因此青年男性概率更大．
（3）零假设为：该游戏软件的使用体验与体验者的性别无关，
由题意计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以判断该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关．
17．（1）由正项数列是“数列”，得，则，而，
所以.
（2）由正项数列是“数列”，得，，
则，即，而，
因此，当时，，
两式相减得，即，而，
则，又，即，则，
由，得，即不满足，
所以数列不是等比数列.
18．（1）已知函数，则，解得，
的定义域为，
求导得，
令，已知，则，解得，
，
，不在定义域内，舍去，，在定义域内，满足题意，
当时，，则，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
所以的极大值点为.
（2）当时，，定义域为；
①，
求导得，
当时，，，
在上恒成立，故在上单调递增；
②函数求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，
已知，且，则必有，
要证，等价于证，
，，
由①知，在上单调递增，
对于任意，有，
，
令，则，
结合得，
，且在上单调递减，
，即，命题得证．
19．（1）抛物线的焦点为，准线，
准线与轴交点，
设是抛物线上一点，由抛物线定义可得：
，故，
，解得，
在中，由余弦定理得：，
则，解得，
，，
抛物线的方程为．
（2）
，则在的垂直平分线上，
的中点满足，且的斜率，
设，由，两式相减得：
，故，
的斜率，
由得，解得，
是抛物线的弦，故中点在抛物线内部，则，
若有解，则，解得，
当时，存在“—圆点”；当时，不存在“—圆点”．
（3）
结合（2），当时，“4—圆弦”中点的横坐标恒为，
且，即，轨迹为，
与轴交于点，关于原点的对称点为；
设过的直线方程为，
联立得：，
设，由韦达定理得，
，
，
，
，
，，
，命题得证．

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