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山东省日照实验高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．已知函数的反函数图象过点，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ）
05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
A．680 B．585 C．467 D．15
6．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．总体中对平台一满意的消费人数约为36
B．样本中对平台二满意的消费人数为300
C．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则
D．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54
8．已知表示实数，，中的最小值，设函数，若的最大值为4，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）
A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为0 B．的最小值为4
C．的最小值为9 D．的最大值为
11．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为16
三、填空题
12．已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______．
13．已知，若A，B，C三点共线，则实数______________.
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.
四、解答题
15．平面内给定三个向量，，．
(1)求满足的实数，；
(2)若，求实数．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求当时，的解析式；
(2)求不等式的解集.
17．已知幂函数的图象关于轴对称，函数．
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)设函数，．若，，求的取值范围．
18．某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率；
(3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大．
19．已知函数且的定义域为．
(1)当时，求；
(2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值；
(3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D A C D B BD ABD
题号 11
答案 ABD
12．36
13．2
14．
15．（1），即，
，解得．
（2），，
，
，即，解得．
16．（1）解：由题意知，当时，，
当时，，可得，
因为函数是上的奇函数，所以，
所以，即时，.
（2）解：当时，不等式，可化为，所以，显然成立；
当时，是奇函数，此时成立；
当时，不等式可化为，所以，解得，所以，
综上可知，不等式的解集为.
17．（1）由，所以或，
由幂函数的图象关于轴对称，所以.
故.
所以.
函数在上单调递增，下面用单调性定义证明：
设，
则.
因为，所以，，，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）因为函数在上单调递增，且，
所以，.
对，.
当即时，在上单调递增，所以，
由.
当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
由，无解.
当即时，在上单调递减，所以，
由，这与矛盾，无解.
综上可知：.
故的取值范围是：.
18．（1）由频率分布直方图得，，
解得．
估计初赛成绩的平均数为：．
所以，平均成绩为77.5
（2）由（1）知，成绩在的频率之比为，
则在中随机抽取了人，记为，
在中随机抽取了人，记为，
从5人中随机抽取2人的样本空间为：，
共10个样本点，
设事件“至少有1名学生的成绩在内”，
则，有7个样本点，
因此，
所以至少有1名学生的成绩在内的概率．
（3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况：
①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为，
②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为
③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为
所以最终甲获胜的概率为；
若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况：
①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为，
②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为
③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为
所以最终甲获胜的概率为，
若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况：
①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为
②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为
所以最终甲获胜的概率为，
因为，
所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大．
19．（1）当时，，即，
当时，，得，解得；
当时，，得，解得，
故当时，的定义域为；
当时，的定义域为．
（2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得．
根据“类线性函数”的概念可知，，总有，
即，
则，
所以，
即，
所以对于恒成立，
又不恒为0，所以．
（3）存在．
易知当时，的定义域为，
因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，
所以在其定义域上为增函数．
由题意可知，，即，
所以是方程的两个不同的实数根，
即是方程的两个不同的实数根．
设，则方程有两个不同的实数根．
设，其对称轴为，
则，解得，
故的取值范围为．

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