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日照实验高级中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性训练数学试题
一、单选题
1．等差数列2，4，6，…的第9项为（ ）
A．20 B．22 C．18 D．26
2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ）
A．6 B．13 C．7 D．42
4．已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．数列的前项和最小 D．
8．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C．2 D．8
二、多选题
9．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．(且)
C． D．
10．已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A． B． C．数列为等差数列 D．为等比数列
11．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ）
A． B．若为质数，则数列为等比数列
C．数列的前4项和等于 D．，使得
三、填空题
12．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____．
13．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____.
14．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________.
四、解答题
15．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求的最小值．
16．已知函数，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程．
17．在等差数列中，已知，公差为1，在数列中，设前项和为，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
18．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值．
19．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，证明是等差数列；
(3)证明：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B B C B BCD ABC
题号 11
答案 ABD
12．3
13．/
14．12
15．（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
所以．
（2）因为是等差数列，所以．
因为，所以当时，有最小值.
16（1）易知，所以切线斜率为
∴函数在点处的切线方程为，
即；
（2）由题，∴，设切点为，
∴切线方程为，
又切线过点，∴，
即，解得或，
当时，切线方程为，即；
当时，切线方程为，即，
∴的方程为，或．
17．（1）因为数列为等差数列，且，，故；
当时，，
当，时，，
所以，.
（2）由（1），得，
所以
.
18．（1）解：设等差数列的公差为，因为，
可得，解得，
所以，
则，
因为是和的等比中项，可得，即，所以，
设等比数列的公比为，则，可得，解得，
所以，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，可得，
则，可得，
两式相减，得
，
所以，即数列的前项和为.
（3）解：由（2）知：
因为恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，可得，
当时，，即；
当时，，即，
所以，所以数列的最小值为，
因为恒成立，所以，
所以实数的最大值为.
19．（1）解：因为，，则且，
所以，数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为，
，.
（2）解：对任意的，，
所以，，
当时，，解得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，，故，
化简可得，因此，数列为等差数列.
（3）解：，所以，，
，
所以，.
因此，对任意的，.

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