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湖南长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学科试题卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（且），若，则的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知，数列为等差数列，且，则（ ）
A．0 B． C．11 D．
8．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
9．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．为偶函数
C．是的一个零点 D．是的一个周期
10．设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．若，则
C．若，则 D．若，则直线AB的方程为
11．已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，且S为的面积，R为外接圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A． B．边BC上的中线
C． D．的最小值为
三、填空题
12．已知展开式中的系数为，则_________．
13．如图，等边边长为2，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使得，则_________．
14．已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________．
四、解答题
15．已知为数列的前n项和，且．
(1)求该数列的通项；
(2)若，求数列的前n项和．
16．为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．
(1)求问题1回答正确的概率；
(2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，E为中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求直线与平面ABCD所成角的正弦值．
18．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点．
（i）求证：点在定直线上；
（ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围．
19．已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点．
(1)求 在处的切线方程；
(2)证明：直线AB的斜率恒大于1；
(3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论．
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．D
5．A
6．C
7．D
8．B
9．AD
10．ABD
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1）当时， ，；
当时,,所以，
整理可得，
又,解得，满足，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
（2）因为，所以，
所以
．
16．解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知：
，
由全概率公式得：
.
（2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3，
则有，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
17．（1）连接，设，连接CF，
因为且，则为平行四边形，可得，
且平面，平面，所以平面．
（2）因为，可知直线与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角，
连接，因为，则，
设，连接，
因为，且为BD中点，则，
且，平面，则平面，
由平面ABCD，可得平面平面ABCD，
又因为，则，即，
且平面平面，平面，所以面ABCD，
法一：可知MC，MD，两两垂直，
以点M为坐标原点，MC，MD，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，可得，
且平面ABCD的法向量为，
则，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为；
法二：过MD中点，连接FN，NC，
因为平面ABCD，，所以面ABCD，
直线CF与平面ABCD所成角即为，
可得，则，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为.
18．（1）设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是点的集合，
由此得，平方化简得，即．
（2）（i）令，代入，得，解得，故、，
设直线的方程为，与曲线的方程联立得：
，则，
所以，解得，
故，故，
设点，则，
由题意得，，
因为平分，由角平分线定理得，即，
化简得，即，解得，
所以点在定直线上．
（ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
将直线与曲线的方程联立得：，
所以，，
故，则，
由（i）得，则，故、、三点共线．
又因为、、三点共线，即与点重合，所以，
因为点在第二象限，则，解得，
所以．
19．（1）由，可得，
则在点处的切线方程为，即．
（2）设，
不妨设，要证直线AB的斜率恒大于1，即证，
即证，即证①，
考查函数，，因，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
从而，
从而有，,所以，
要证①式，需证，
又，
即证：
化简得，
令，
令，
则，
由可得;由可得,
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，原命题得证．
（3）点m的横坐标大于1，证明如下：
设，且．由A，B在圆上得：
，
构造函数，则．
，
当时，，且，故；
当时，，且，故；
所以在单调递减，在单调递增，所以，
令，
则，
所以在单调递增，所以，
当时，，
所以，
所以，
即，又，所以，
又在单调递增，所以，即，
所以点m的横坐标大于1．

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