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内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试高一数学
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若为虚数单位，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
3．已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（ ）
A．88，92 B．88，92.5 C．89，92.5 D．90，94.5
5．甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．正方形的边长是2，若是的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
10．设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D．若l，m是异面直线，，，且，，则
11．为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（ ）
A．的值为0.015
B．该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01
C．现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人
D．被抽取的1000名中学生的均分大约是80分
三、填空题
12．复数的虚部为______．
13．已知，与方向相反的单位向量的坐标为______
14．已知某圆锥的母线长为，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的大小为______.
四、解答题
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值．
16．如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．
(1)试用，表示向量，．
(2)试用，表示向量．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的值；
18．已知平面内三点，，.
(1)若三点共线，求的值.
(2)当时，线段上的点满足，求的值.
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若的面积且，求的周长．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．C
5．C
6．B
7．A
8．A
9．BCD
10．ABC
11．AC
12．
13．
14．
15．（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即,
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．（1）因为，所以，
所以，
．
（2）
17．（1）由可得，
故，
由于,故，
（2）由，故，
又得，故，
故，
18．（1）因为，，，则，，
由三点共线得，则，解得.
（2）当时，点，
设，则，，
因为，则，解得，即，
则，且，所以.
19．（1）由，根据余弦定理，得，
化简得，即.
所以.
因为，所以.
（2）由正弦定理可得.
由三角形的面积公式可得，
所以.
由（1）得，所以.
所以，
所以.
所以的周长为．

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