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内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期4月诊断考试高三数学
一、单选题
1．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B．9 C． D．13
2．已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期为π的函数
C．在区间上单调递减 D．的最大值为
3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设向量满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．双曲线的左顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在等差数列中，，，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种 B．48种 C．72种 D．80种
二、多选题
9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则或
D．若，，则或
10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
11．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知且，则______．
13．已知向量，，若，则正数的值为______．
14．已知数列满足，且，则______.
四、解答题
15．设函数的最大值为M，最小正周期为T.
(1)求M、T；
(2)若有10个互不相等的正数满足,且,求的值.
16．如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
17．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
18．若等比数列的各项为正，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.
19．某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于2小时 105 250
每天使用时长低于2小时
合计 175 400
(1)完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？
(2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．D
5．B
6．A
7．D
8．B
9．AB
10．BD
11．BC
12．64
13．
14．,
15．（1）由题意，，
则；
（2）由（1），，
则，
又，
.
16．（1）取的中点，连接，，如图：
则，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）因为，，所以，所以，
所以斜边上的高为，即四棱锥的高为，
∴．
17．1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
18．（1）设各项为正的等比数列的公比为，，，
则，，，
即，
解得或（舍去），
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
由（1）知，所以.
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得，
所以数列的前项和.
19．（1）列联表如下：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于2小时 145 105 250
每天使用时长低于2小时 30 120 150
合计 175 225 400
零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联．
因为，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人，
在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人．
所以的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以，
，
故的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以.

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