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山西阳泉市平定县2025-2026学年下学期九年级阶段性质量检测卷 数学
一、单选题
1．在下面四个数中，最大的数是（　　）
A．3.14 B．π C．3.1414…… D．
2．窗棂是中闻传统木构建筑的构架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心，下列表示我国古代窗棂洋式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
5．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．歌唱比赛有位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，不受影响的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
7．下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）
A． B． C． D．
8．如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图象经过点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
11．因式分解：__________．
12．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元，经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克、若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为_____．
13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____．
14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______．
15．如图，在平行四边形中，、、分别为，的中点，连接并延长至，满足，连接，．点是的中点，连接交于点，若，．则的长为______．
三、解答题
16．计算与解方程
(1)计算：
(2)解方程
17．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，与轴，轴交于点，过点作轴、垂足为点为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
18．海南岛气候宜人、拥有海水、阳光、沙滩、森林、温泉、热带物产和少数民族风情等丰富而独特的热带海岛旅游资源，有众多著名旅游地，是我国重要的旅游省份，为了解“十一”假期同学们在岛内的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
××小组关于××学校学生“十一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述
旅游地 A．儋州市 B．海口市 C．文昌市 D．三亚市 E．未出游 F．其他
数据分析及运用：
(1)本次被抽样调查的学生总人数为_____．
(2)扇形统计图中，_____，“D”对应圆心角的度数是_____．
(3)未出游的甲、乙同学计划下次假期从、、三个旅游地中任选一个城市旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一个旅游地的概率．
19．某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等．
(1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？
(2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式．
20．小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测量数据 ①测得水平距离为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米
说明 点在同一平面内
请根据表格信息和图1，解答下列问题．
(1)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？
(2)如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（在同一平面内，沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到0.1米，取取1.732）
21．【材料阅读】
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关联点 【概念理解】 如图1，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：， ． 点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， ．（依据1） ． ． ． ，（依据2） 点是点关于的“关联点”
任务：
(1)材料中的依据1是指_____，依据2是指_____
(2)如图3，在中，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长．
(3)已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点E（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可）
22．如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为
(1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由；
(3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆、与水面夹角的正切值为为上的一个动点，于点、，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好．请直接写出其最大值（注：点在轴的左侧或轴上、点在线段的上方或上）．
23．我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
(1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）；
【探究证明】
(2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点．
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
(3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长；
【拓展运用】
(4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
参考答案
1．D
2．C
3．D
4．D
5．C
6．B
7．D
8．D
9．B
10．A
11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）解：
；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得：，．
17．（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，
∴平移后的解析式为：，
联立与得：，
解得：，
经检验，均为原分式方程的解，
当时，，当时，，
∴，
∴，，，
当时，，则，当时，，则，
∴，，
则，
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，
∴，
∴，和是等腰直角三角形，
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：∵（人），
∴本次被抽样调查的学生总人数为200人；
（2）解：∵出游C旅游地的人数为：（人），
∴，
∴，
∵，
∴“D”对应圆心角的度数是；
（3）解：画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两人选择同一个旅游地有3种可能的结果，
∴选择同一个旅游地的概率为．
19．（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元；
（2）解：根据题意得，，
∴．
20．（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（2）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
21（1）解：，
．
∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上，
，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
，
，
，
，（依据：相似三角形对应边成比例）
，
∴点是点关于的“关联点”．
（2）解：∵点是点关于的“关联点”，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
．
（3）解：如图，点为所求．（或点为所求）
理由：∵与的面积相等，
∴点到的距离等于点到的距离，
∴，
即点在经过点，且与平行的直线上；
∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”，
故，，
∴，
即点在以点为圆心，的长为半径的圆上；
据此，即可作图．
作法：第一步，以点为圆心，的长为半径，画圆；
第二步，作，使得，即；
第三步，延长，与圆交于点、．
如图：点为所求．（或点为所求）
22．（1）解：由题意，得，抛物线顶点为．
设抛物线的表达式为，将顶点代入，得；
∴抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵游船宽，从桥下正中间通过时，
∴将代入抛物线，得
，
∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔，
∴所需最小高度为
∵，
∴游船能安全通过．
（3）解：过点P作于F，延长交于点，则，过点C作轴于点N，如图1
∴，
，
，
，
，
∴，
∴．
即，
∴，
设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则
∴，，
∴，，，，
∴，或（不符合题意，舍去），
∴，，
即，点C关于y轴的对称点为，
∴，
∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，，
∴，
∵，
∴，
∵点D、E关于y轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴开口向下，对称轴为，
∴当时，随n的增大而减小，
∴当时，取得最大值，为．
取得最大值为3．
23．（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；
四边形是矩形，
，，，，
四边形、均为平行四边形，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
；
乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，
四边形、均为矩形，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：由矩形的性质可得，，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
即，
解得，
的长为；
（4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
（不合题意舍去），，
，
由（2）知，，
又，
，
，
，，
．

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