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高一数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第一册，必修第二册第六章～第七章。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1.
A. 0 B.
C. D.
2. 若集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 复数 的虚部为
A. 6 B. -6
C. 6i D. -6i
4. 在 中, 是线段 上的靠近 的三等分点,则
A. B.
C. D.
5. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知 为单位向量， ,则 在 上的投影向量的坐标为
A. B.
C. D.
7. 安庆振风塔, 始建于 1570 年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有 “万里长江第一塔”的美誉. 如图，某同学测量振风塔高度 时，选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量点 ,且在 两点测得塔顶 的仰角分别为 ,在水平面上测得 ,则该塔高为
(参考数据: )
A. B. C. D.
8. 已知函数 若 ,且 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知点 ,则下列结论正确的是
A. 线段 的中点的坐标为
B. 若 ，则点 的坐标为
C. 若 ,则
D. 若 ,则向量 可以作为平面内的一组基底
10. 已知 是复数,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B.
C. 若 ,则
D. 若 ,则
11. 已知两个非零向量 的夹角为 ，定义运算: ，则下列说法正确的是
A.
B. 若 是非零向量，则
C. 若 ,则 的最小值为
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 _____.
13. 在复平面内,将复数 对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转 ,则旋转后的向量对应的复数为_____.
14. 已知 为 的外心，且满足 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知复数 .
(1)若复数 是纯虚数，求 的值；
(2)若 是关于 的方程 的一个根，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知 中,角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于 ，求 的长.
17. (本小题满分 15 分)
小王同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如下表:
0
0 2
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出 的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数 在 上恰有 1 个零点，求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在等腰梯形 中， 满足 ，其中 与 交于点 .
(1)用向量 ， 表示 ， ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 的周长的取值范围；
(3)若 ， ，等边 的顶点 ， ， 分别在边 ， ， 上(不含端点)，求 的面积的最小值.
高一数学参考答案、提示及评分细则
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】A
9.
【答案】AC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】AD
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
15 (1) , 3 分
因为 是纯虚数，所以 且 ，解得 . 6 分
(2)因为 是关于 的方程 的一个根，
所以 ,整理得 , 9 分
所以 解得 , 12 分
所以 . 13 分
16.(1) 由 ,及余弦定理得 , 4 分所以 ,
所以 . 6 分
(2)因为 ，所以 ， ，
由题意可知 , 9 分
所以 ,
即 , 13 分
解得 . 15 分
17.(1)数据补全如下表:
0
0 2 0 -2 0
(填对一个数据得 0.5 分) 3 分
易知 ,
所以 图象的对称轴方程是 . 7 分
(2)令 ，得 . 8 分
当 时, , 9 分
则函数 在 上恰有 1 个零点,
等价于当 时, 的图象与直线 恰有一个交点, 12 分
所以 或 ,解得 或 ,
即实数 的取值范围是 . 15 分
18.(1) 由题意可知 , 2 分 . 4 分
(2)若 ， ， ， ，
设 ，则 ，
又 , 7 分
因为 ， 不共线，所以
所以 ，所以 . 10 分
(3)由题意可知 ， 11 分
若 ,则 ,
13 分
, 15 分
当 时, ,则 ,
所以 的取值范围为 . 17 分
19.(1)因为 ,所以 ,
由正弦定理得 ,
所以 , 2 分
因为 ,所以 ,解得 ,
因为 ,所以 ,即 . 4 分
(2)由(1)知 ，由正弦定理得 ，所以 ， ，
又 ,
所以 的周长
7 分
因为 是锐角三角形,所以 所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 . 即 的周长的取值范围是 . 10 分
(3)设 ，则 ， 11 分在 中, ,所以 ,
在 中, ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 . 13 分
在 中, ,所以 ,所以 ,
所以 , 15 分
因为 ,其中 ,
当 ,即 时,等号成立,
所以 ,
所以 ，即 的面积的最小值为 . 17 分

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