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江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学 2025-2026 学年度第二学期
高三 4 月份联合测试数学试卷
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 是绝对值小于 3 的整数 ,则 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
2. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形 中， 为 的中点，若 ，则 的值为( )
A. B.
C. -2 D. 2
4. 若 是两条直线， 是两个平面，且 ， . 设 ，则 是 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在递增的等比数列 中, ,则数列 的公比为 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形,侧面展开图是圆心角为 的扇形,若 , 则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 恒过定点 ，且点 在函数 的图象上，则 的最小值为( )
A. B. 8 C. 4 D.
8. 如图，以 为圆心，2 为半径的圆与 轴交于 ， 两点，P是 上异于 A, B 的动点,直线 PA, PB 分别交 轴于 C, D 两点,以 CD 为直径的 与 轴交于 两点，则 的长为( )
A.2√2 B.2 C. 6 D. 随 P 点而变
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项是符 合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知 ，且第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，则( )
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为 D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 交于 两点，其中 ，则( )
A. 直线 的斜率为 B. 点 到 轴的距离为 6
C. 的面积为 D. 直线 的倾斜角为 或
11. 已知函数 ,满足 ,且函数 无零点,则(
A. 方程 有解 B. 恒成立
C. 方程 有解 D. 恒成立
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.如图所示为函数 的图象,则不等式 的解集为_____.
13. 设 是非零向量，且 ，则 的最小值是_____.
14. 设集合 ，若对于满足 的任意 个元素的集合 ，都存在 使得 ,则 的最小值是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中,角 所对的边分别为 .
(1) 求 的值；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
16. 记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式:
(2)设 ，记数列 的前 项和 ，求 ；
17. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标 (单位: )服从正态分布 ，已知当 时， . 规定质量指标在 内的零件为优质品, 且每个零件的检测结果相互独立.
(1)现从该批零件中随机抽取 2 个，求这 2 个零件中恰好有 1 个为优质品的概率；
(2)从该批零件中随机抽取 6 个进行检测，记这 6 个零件中有 个优质品的概率最大，当这 6 个零件中恰好有 个优质品时把这 6 个零件视为一个样本，从这 6 个零件中不放回地任取 3 个进行二次精测,记取出的 3 个零件中优质品的个数为 ,求 的分布列与期望;
18. 已知函数 .
(1)证明: 仅有一个极值点；
(2)若 有两个极值点；求 的取值范围:
(3)记 的极值点为 ，若 ， ，对任意的 ， 恒成立，证明: .
19. 如图,锐二面角 的大小为 均为半平面, ,过 作 垂直于 ,垂足为 过 作 垂直于 ,垂足为 ,且 .
(1)若 ，求 的值:
(2)在(1)的条件下，设 为 内任意一点，且 ，满足 ， ，求点 到 的距离;
(3)设点 为二面角 内部的一个点,且 ,且点 满足:
① ；
② 与 所成的角为 ，射线 与 所成的角为 ， . 设点 到直线 的距离为 ,若对满足上述条件的任意 和 ,均有 恒成立,求 的最小值.
江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学 2025-2026 学年度第二学期高三 4 月份联合测试数学试卷答案
命题单位:江都中学 命题人:陆金贵 审核人:潘艳梅
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1-8 CCACB DCB
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项是符 合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9.AD 10.BCD 11.BD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.5
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】(1) (2)
(1)由题意知， ，即 ，即 .
因为 ,所以 ,
即 ,
所以 , 4 分
又 ,
所以 或 ,所以 (舍) 或 ,
因为 ,所以 ,则 . .7 分
(2)
方法一: 设 ,则 ,
在 中,由余弦定理可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ,可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ,
联立解得 ,
所以 的周长为 13 分
方法二: 设 ,则 ,即 ,
故 ,故 ,
所以 ,可得 ,
在 中,由余弦定理可得 ,
即 ,
联立解得 ，所以 的周长为 .13 分
16.【答案】(1)
(1)因为 ，故 ，故 .2 分 ,
故 即 , .4 分
因为 ,故 ,故 ,
所以 是首项为 4,公比为 -3 的等比数列,故 .7 分
(2) ,
故 , .9 分
所以 11 分
所以 15 分
17.【答案】(1)0.4352
(2)
Y 1 2 3
1 5 3 5 1 5
(1) 因为 ,所以 ,
所以从该批零件中随机抽取 1 个为优质品的概率
.2 分
所以从该批零件中随机抽取 2 个,
恰好有 1 个为优质品的概率为 4 分
(2)设随机抽取的 6 个零件中，优质品的个数为 .
由题意得 , .6 分
所以 ,
因为 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 . 10 分
由题意可得 的所有可能取值为1,2,3,
13 分
所以 的分布列为 15 分
1 2 3
1 5 3 5 1 5
18.【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
(1)由 ,得 ,
因为函数 在 上单调递减,所以函数 在 上单调递减,
又 ,
则存在 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 仅有一个极值点 .4 分
(2)由 ，得 ，
设 ,则 ,
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
则 最多只有 1 个根,不符合题意;
当 时,令 ,得 ,令 ,得 ,
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ,
当 时, 时, ,
要使 有两个极值点,需使 ,
又 ,则得 ,即 . 综上所述， 的取值范围为 10 分
(3)由题意，对任意的 恒成立，
即 ,设 ,则 ,
因为 ,由 (2) 知,函数 在 上单调递减,
则函数 在 上单调递减,
又 时, ,
则存在 ,使得 ,即 ,
当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,
即 ,所以 ,
设 ,则 ,即 ,
所以 ,设 ,
则 ,
令 ,得 ,
由(1)知该方程当且仅当 ，即 时等号成立，即 ，
则 有唯一零点 ,此时 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
则 17 分
19. 如图,锐二面角 的大小为 均为半平面, ,过 作 垂直于 ,垂
足为 过 作 垂直于 ,垂足为 ,且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)在(1)的条件下，设 为 内任意一点，且 ，满足 ， ，求点 到 的距离;
(3)设点 为二面角 内部的一个点，且 ， ，且点 满足:
① ；
② 与 所成的角为 ，射线 与 所成的角为 . 设点 到直线 的距离为 ,若对满足上述条件的任意 和 ,均有 恒成立,求 的最小值.
【答案】 ；
(2) ；
(3) 的最小值为 .
(1)因为 ，
故 ,
即 ,解得 ,故 . .4 分
(2)以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
则 ,
因为 ,所以 的一个法向量为 ,
设 ,则 ,
故 ,
从而 ,即 ,①
,
即 ,②
由①②得 ，代入( 1 )可得 ，故 ，
从而点 到 的距离为 . 10 分
(3)同(2)建系，设 ，因为 ，则 ，
又点 到直线 的距离为 ,则 ,
因为 的一个单位法向量为 的一个单位法向量为 ,
则 ,
因为点 为二面角 内部的一个点,
故 ,故 ,
从而 ,从而有 ,
代入 可得 ,
即 ,
又 ,
故 ,
又因为 ,
故 .
因为任意 和 ,均有 恒成立,
一方面: 必有当 ,即 时,不等式成立,
此时 ,
化简得 ,解得 ,故必有 .
另一方面: 当 时, ,
故 恒成立,符合题意.
根据最值定义知, 的最小值为 .
此时 . 17 分

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