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高一数学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:北师大版必修第一册，必修第二册第一章。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 与 角终边相同的一个角是
A. B. C. D. -103°
2. 若集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 如图是“二十四节气圆周”图, 各节气点等分“节气圆周”, 则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为
A. B.
C. D.
4. 角 的终边经过点 ,则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象先向左平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为
A. B.
C. D.
7. 将角 的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,在角 的终边上任取一点 ,点 到原点的距离为 ,定义: 角 的余切 ,角 的正割 ,角 的余割 ,则下列说法错误的是
A.
B.
C. 在 上单调递减
D. 在 上单调递增
8. 已知函数 若 ,且 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 5 人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是 3 的整数倍的概率为
C. 数据7.0,7.4,7.6,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的 25% 分位数为 7.4
D. 某班级共有学生 55 人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取 10 人参加一项活动，如果女生抽了 4 人，则该班级有 33 名男生
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则
A.
B.
C. 函数 图象的对称中心的坐标是
D. 函数 的单调递增区间是
11. 已知函数 在 上单调,且对任意实数 都有 ,则 的值可能是
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 _____.
13. 函数 的零点的个数是_____.
14. 已知函数 在区间 上有最小值,但没有最大值,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
如图，已知扇形 的面积是 ，圆心角 .
(1)求扇形 的周长;
(2)求图中阴影部分的面积.
16.(本小题满分 15 分)
已知锐角 的终边与单位圆相交于点 ，且 到 轴的距离是 .
(1)求 以及 的值；
(2)化简 并求值.
17. (本小题满分 15 分)
小王同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据，如下表:
0
0 2
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出 的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数 在 上恰有 1 个零点，求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯视四周景色. 如图，某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为 ，转盘直径为 ，均匀设置了依次标号为 1~24 号的 24 个座舱. 开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要 10 分钟，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，记开始转动 秒后乘客距离地面的高度为 .
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)在转动一周的过程中，乘客有多长时间距离地面的高度不少于 65 米？
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在 1 号和 6 号座舱里，且当 时， 1 号座舱恰好位于距离地面最近的位置. 在乘坐摩天轮的过程中,当 时,甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值 (单位: ) 的最大值是多少 (已知当 时，函数 的值域为 ).
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 的最小值是 -2,点 是 的图象的一个对称中心,且 到对称轴的最短距离是 ,函数 .
(1)求函数 的解析式;
(2)求函数 的值域；
(3)若对任意的实数 ，都存在非负实数 ，使得 的值是 的倒数,求实数 的取值范围.
高一数学参考答案、提示及评分细则
1.. 【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.(1)设扇形 的半径为 ，弧长为 ，则
3 分
解得
所以扇形 的周长为 . 6 分
(2)过 作 ，垂足为 ，
由 (1) 知, ,则 .
所以 的面积为 , 11 分
所以图中阴影部分的面积为 . 13 分
16. (1) 因为锐角 的终边与单位圆相交于点 ，且 到 轴的距离是 .
所以 , 3 分
因为 是锐角,所以 , 5 分
. 7 分
(2) , 12 分
由(1)知 ,
所以原式 . 15 分
17.(1)数据补全如下表:
0
0 2 0 -2 0
(填对一个数据得 0.5 分) 3 分
易知 ,
所以 图象的对称轴方程是 . 7 分
(2)令 ，得 . 8 分
当 时, , 9 分
则函数 在 上恰有 1 个零点,
等价于当 时, 的图象与直线 恰有一个交点, 12 分
所以 或 ,解得 或 ,
即实数 的取值范围是 . 15 分
18.(1)因为转一周需要 10 分钟，所以摩天轮转动的角速度为 弧度/秒， 2 分
转动 (秒) 后的游客距离地面的高度为 ,
即 . 5 分
(2)令 ,则 , 7 分
所以当 时, ,解得 , 9 分
所以在转动一周的过程中,游客有 200 秒的时间距离地面的高度不少于 65 米. 10 分
(3)摩天轮转动 秒时，甲距离地面的高度是 ，
乙距离地面的高度是 , 12 分
则甲、乙距离地面的高度差的绝对值
14 分
已知当 时，函数 的值域为 ，
当 时， ，所以函数 的值域为 ，
因此 , 16 分
即当 时,甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值的最大值是 米. 17 分
19. (1) 因为函数 的最小值是 -2,所以 , 1 分又对称中心到对称轴的最短距离是 ，所以 ， ， ， 2 分
所以 ,
因为 是 图象的一个对称中心,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 . 4 分
( 2 )由题意可知 ,
所以 ,
显然 是函数 的一个周期,因此只要求出函数 在一个周期上的值域即可. 6 分在同一坐标系中作出当 时,函数 与 的图象,
由图可知,当 或 时, ,当 时, ,
所以 8 分
当 时, 的取值范围是 ;
当 时, 的取值范围是 ;
当 时, 的取值范围是 .
综上,函数 的值域是 . 10 分
(3)由题意可知，对任意的实数 ，都存在非负实数 ，使得 ,
即 , 11 分
因为 是非负实数,所以 ,所以 ,
所以对任意实数 ,即 或 , 13 分若 ，即 对任意实数 都成立，
则 ，解得 ； 15 分
若 ，即 对任意实数 都成立，
则 ,即 . 16 分
综上,实数 的取值范围是 . 17 分

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