资源简介

2025-2026 学年第二学期五校联盟 4 月联合调研 高三数学
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟, 试卷满分 150 分, 考试形式闭卷,
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则 ()
A. 4 B. 2 C. D. 1
2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( )
A. 1 B.1 C. 2 D.
3. 直线 与抛物线 交于 两点,若 ,其中 为坐标原点, 则 的准线方程为( )
A. B. C. D.
4. 某班 5 位同学参加 3 项比赛, 要求每人报名 1 项或 2 项, 且每个项目恰有 2 人报名, 则不同的报名方法有( )种.
A. 120 B. 180 C. 240 D. 360
5. 氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体. 假设500g氡气经过t 天后，氡气的剩余量(单位:g)为 ，其中 ， 为常数. 在此条件下，已知500g氡气经过1天后，氡气的剩余量为400g，再经过1天后，氡气的剩余量为( )
A. 320g B. C. D.
6. 无穷数列 为各项均为正数的等差数列, 为正整数,则 “ ” 是 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知平面直角坐标系 中, ,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8. 若 与 有且仅有一对对称的点关于函数 的图像对称,那么实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 ,若 ,则( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的定义域为 为 的导函数,满足 且 ，则以下结论正确的是( )
A.
B. 过原点且与 相切的直线方程为
C. 不等式 的解集是
D. 若 恰有两个整数解,则 的取值范围是
11. 若正方体 的四个顶点都在表面积为3π的球面上，点 为该球面上的任意一点,则下列结论正确的是( )
A. 有无数个点 ,使得 平面
B. 有无数个点 ,使得 平面
C. 若点 平面 ,则 的最大值为
D. 若点 平面 ,则四棱锥 的体积的最大值为
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是_____. (用数字作答)
13. 已知 ,且满足 ,则 ,则 _____.
14. 抛物线 上有 三个点,满足 ,且直线 的倾斜角为 0,若 的内切圆的直径为 ，则 _____.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知
(1)给定区间 ，试求出 在 上的递减区间；
(2) 求证:不存在 ,使 在 处的切线恰平行于 轴
16.(本小题满分 15 分)
已知在 中，其内角 的对边分别为 ，且 (1)求证: 中存在一个内角等于另一个内角的 2 倍；
(2)若 中任意一个角都小于 90°，且 ，证明:b 既不存在最大值也不存在最小值.
17. (本小题满分 15 分)
已知四棱锥 的底面是边长为 4 的正方形，点 在底面 (不含边界)上的射影为点 ，且 ，设直线 与平面 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 .
(1)已知 .
(i) 证明: 的面积为定值;
(ii) 若平面 平面 ,求四棱锥 外接球的表面积; (2)若 ，判断是否存在点 ，使得 平面 .
18.(本小题满分 17 分)
甲社区有 个女生和 个男生,且每个女生都认识所有男生; 乙社区有 个女生 , 和 个男生 ,其中女生 认识男生 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛,每队选手均为 2 人.
(1)若 ，求所有参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选法种数为 和 .
(i) 求 ,并证明: 当 时, ;
(ii)若从乙社区中随机选出 个女生和 个男生,并将他们随机组成 个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率.
19. (本小题满分 17 分)
已知圆 与双曲线 在第一象限的交点 ,定义: 当 时,曲线 ,当 时,曲线
(1)若 ，试求出双曲线 的渐近线方程；
(2)若 ， 是 与 轴的交点，点 在 上，且 ，已知 ， 求证: 始终存在;
(3)若过点 且斜率为 的直线 交曲线 于点 ，求出 的取值范围.
南京五校联盟 2025-2026 学年第二学期 4 月联合调研 数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,若 ,则
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】A
2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
,所以 ; 可得 .
3. 直线 与抛物线 交于 两点，若 ，其中 为坐标原点，则 的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
不妨设点 在第一象限，则点 在第四象限，
联立 可得 ,则点 ,
所以, ,解得 ,因此, 的准线方程为 .
4. 某班 5 位同学参加 3 项比赛，要求每人报名 1 项或 2 项，且每个项目恰有 2 人报名，则不同的报名方法有( ) 种
A. 120 B. 180 C. 240 D. 360
【答案】B
设报 1 项的同学有 人，报 2 项的同学有 人，
由题意有: 5 位同学每人报名 1 项或 2 项, 3 个项目每个项目恰有 2 人报名, 总报名名额为 , 所以 ,即恰好有 1 人报 2 项,其余 4 人各报 1 项,
第一步: 先选报 2 项的同学有 种选法,
第二步: 选该同学报的 2 个项目有 种选法,假设选的项目是 和 ,
则项目 各已有 1 人，还需各 1 人，项目 还需要 2 人，
第三步:分配剩余 4 人，从 4 人中选 1 人去项目 有 种选法，选 1 人去项目 有 种选法，
剩余的 2 人去项目 有 1 种选法,其有 种选法,
根据分步乘法计数原理有: 种选法.
5.氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体. 假设500g氡气经过1天后，氡气的剩余量(单位:g)为 ，其中 为常数. 在此条件下，已知 氡气经过1天后，氡气的剩余量为 ，再经过1天后，氡气的剩余量为
A. B. C. D.
【答案】A
由题意可得 , ,解得 . .
6. 无穷数列 为各项均为正数的等差数列， 为正整数，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
设正项等差数列 的首项为 ,公差为 .
则 ,
两式作差得 .
充分性: 若 ,即 .
若 ,则 ,即 ,无法推出结论,充分性不成立.
必要性: 若 ,即 .
因为 ,所以 ,即 ,必要性成立.
因此," "是" "的必要不充分条件.
7. 已知平面直角坐标系 中， ， ， ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
如图所示，
由 得 是直角三角形，斜边 ，取 ，且
根据直角三角形斜边中线性质，可得 ，
即 在以原点 为圆心、半径 的圆上.
根据向量极化恒等式，对任意 为 中点，
有
,代入 ,得:
因为 在 为圆心、半径 1 的圆上,
所以 的范围是: ,
即 ,故 .
8. 已知函数 与 的图象上恰好存在唯一一对关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
根据指对数函数的图象可知, 与 关于直线 对称,
所以函数 与 的图象上恰好存在唯一一对关于直线 对称的点,
等价于函数 与 恰好存在唯一交点,
令 ,则 ,
所以直线 与 有唯一的交点,
设 ,则 ,
在 上, 单调递增,在 上, 单调递减,
而 ,且当 时, ,
所以当 时, ,当 时, ,
则函数 的大致图象,如下图所示,故 或 满足条件,
所以实数 的取值范围是 .
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知随机变量 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】AB
由正态分布的定义知 , A 正确;
由 ，得 ， 正确；
错误;
, D 错误.
10. 已知函数 的定义域为 为 的导函数,满足 且 ,则以下结论正确的是
A.
B. 过原点且与 相切的直线方程为
C. 不等式 的解集是
D. 若 恰有两个整数解，则 的取值范围是
【答案】ABD
A选项,由 ,
可得 ,即 ,
故 为常数,由 ,可得 ,
故 ,故 A 正确:
B 选项，设切点为 ， ，设切线斜率为 ，则 ，
所以切线方程为 ,即 ,
因为切线过原点,所以 ,
解得 ，所以 ，切线方程为 . 故 正确；
C选项, ,
故当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 的极大值为 ,
又 时, 时, ,
且 时, 时, ;
当 时, ,当 时, ,
的解集是 ,故 错误;
D 选项，因为 ，所以要使 恰有 2 个整数解，
则整数解为 2 和 3 ，所以 ，即 ，化简得 ；
故实数 的取值范围是 ，故 正确.
11. 已知正方体 的各个顶点都在表面积为 的球面上，点 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是
A. 有无数个点 ，使得 平面
B. 有无数个点 ，使得 平面
C. 若点 平面 ，则 的最大值为
D. 若点 平面 ,则四棱锥 的体积的最大值为
【答案】ACD
令正方体 的外接球半径为 ,则 ,
连接 ,由四边形 是该正方体的对角面,得四边形 是矩形,
即有 ,而 平面 平面 ,则 平面 ,
同理 平面 ,又 平面 ,
因此平面 平面 ，令平面 截球面所得截面小圆为圆 ，
对圆 上任意一点(除点 外)均有 平面 ，A 正确；
对于 ，过 与平面 垂直的直线 仅有一条，这样的 点至多一个，B 错误；
对于 ,显然 平面 ,在平面 内建立平面直角坐标系,如图,
令点 ，而 ，
因此 ,
,令 ,
,当且仅当 取等号,
此时 ,即 ,因此 的最大值为 正确;
对于 ，平面 截球面为圆 ，圆 的半径为 ，则圆 上的点到底面 的距离的最大值为 ， 因此四棱锥 的体积的最大值为 ，D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 的展开式中 的系数是_____.
【答案】-80
的展开式的通项公式为 ,
令 可得 ,所以 的展开式中 的系数是 -80 .
13. 已知 ，且满足 ，则 ，则 _____.
【答案】
因为 ,所以
由 得 ,
即 ,所以 ,
所以 ,得 ,
所以 .
14. 抛物线 上有 三个点，满足 ，且直线 的倾斜角为 0，若 的内切圆的直径为 ，则 _____.
【答案】 12
设 . 由 得 。取 ，则三角形面积 ，内切圆半径 . 由 得半周长 . 又 ,故 。 令 ,则 . 代入 得
化简得 ,解得 ,故 ,从而 。
所以 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知
(1)给定区间 ，试求出 在 上的递减区间；
(2)求证:不存在 ，使 在 处的切线恰平行于 轴？
(1) ,
① 若 ，则 在 上单调递增；
②若 ，当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
③若 ，则 ，函数 在 上单调递减
综上，当 时， 在 上单调递减
当 时， 在 上单调递减；
(2) 令 ,
由 (1) 易知,
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上的最小值为 ,
即 ,又 ,
,
曲线 在点 处的切线与 轴平行等价于方程 有实数解, 而 ,即方程 无实数解,
故不存在实数 ,使曲线 在点 处的切线与 轴平行
16. 已知在 中，其内角 的对边分别为 ，且
(1)求证: 中存在一个内角等于另一个内角的 2 倍；
(2)若 中任意一个角都小于 ，且 ，证明: 既不存在最大值也不存在最小值.
证明: 因为 ,由正弦定理得 ,可得 ,
又由余弦定理得 ,即 ,
由正弦定理得 ,
因为 ,
可得 ,
因为 为三角形的内角,所以 ,可得 ,
所以 中存在一个内角等于另一个内角的 2 倍
(2)由(1)知， 为二倍角三角形，即 ，则 ，
因为 为锐角三角形,则满足 ,
解得 ,可得
又由正弦定理得 且 ,即
可得
,
因为函数 上为单调递增函数,12 分
所以,当 时, 取得最大值,最大值为 ,
当 时, 取得最大值,最大值为 ,
故实数 的取值范围为
所以 b 既不存在最大值也不存在最小值
17. 已知四棱锥 的底面是边长为 4 的正方形，点 在底面 (不含边界)上的射影为点 ，且 ，设直线 与平面 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 .
(1)已知 .
(i) 证明: ⑦PAD的面积为定值;
(ii) 若平面 平面 ,求四棱锥 外接球的表面积;
(2)若 ，判断是否存在点 ，使得 平面 .
(1) (i) 如图:
连接 ,可知直线 与平面 所成角分别为 , 故 ,
由 ，知 ，
故点 在线段 的中垂线上.
过点 作 垂直 于点 ，连接 ，
所以 .
因为点 是点 在底面 上的射影,
所以 .
又 ,且 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
所以 ,为定值.
(ii) 过点 作直线 ，显然 为平面 与平面 的交线，
设 分别为 的中点，连接 ,
由 (i) 知 ,故 ,所以 ,
又平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又 ,所以 ,
不妨设 ,则 ,所以 ,
解得 或 .
根据对称性，不妨取 ，
设四棱锥 外接球球心到平面 的距离为 ,
所以 或 ,
解得 或 (舍),
所以四棱锥 外接球的表面积为 .
(2)存在. 理由如下:
因为 ,
所以 ,
即 ,所以 .
假设存在点 ,使得 平面 ,则 ,
以 的中点 为坐标原点， 为 轴，平行于 的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ,设 ,
则由 ,
可得 ,
整理得 ,
又 ,则点 在圆 上,
由 ,
解得 ,
即
也即 或 .
所以存在点 ,使得 平面 .
18. 甲社区有 个女生和 个男生,且每个女生都认识所有男生; 乙社区有 个女生 和 个男生 ,其中女生 认识男生 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2 人.
(1)若 ，求所有参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选法种数为 和 .
(i) 求 ,并证明: 当 时, ;
(ii ) 若从乙社区中随机选出 个女生和 个男生,并将他们随机组成 个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率.
(1)设事件 表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件 表示“乙社区的参赛选手都是女生，
事件 表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件 表示“乙社区的参赛选手都是男生，
则 ,
则所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，
即 ,因为 ,所以 ,即事件 与 互斥,
又事件 与 互相独立,事件 与 互相独立,
故所求事件的概率为 .
(2) (i) 因为甲社区中女生和男生全都认识,因此 ,
当 时, ,
所以 ,
因为 ,
两边同乘以 ,得 ,
(ii ) 先考虑 的递推关系式.
当 时,考虑乙社区中的女生 ,有以下两种情况:
①当女生 被选中时，其余 队共有 种不同的选法， 可在余下 个男生中任选一人，
有 种选法,因此由乘法计数原理可知,共有 种选法;
②当女生 没被选中时，此时从 中选出 个女生，从 中选出 个男生组队，共有 种选法;
所以当 时， ，
当 时,由前述分析可得 ,
由 (i) 可知 满足相同的递推公式 ,
因为 ,
所以 和 有相同的递推关系和初始值,故对任意 和 ,均有
设乙社区中各选 个男生和 个女生,组成 个队,共有 种情况,且 ,
因此满足组队要求的概率 .
19. 已知双曲线 与圆 在第一象限的交点为 ,定义曲线 .
(1)若 ，求 的离心率；
(2)若 是 与 轴的交点，点 在 上，且 ，已知 ，求证: 始终存在； (3)若过点 且斜率为 的直线 交曲线 于 ,试用 的代数式表示 ,并求出 的取值范围.
(1)因为 ，所以代入双曲线方程中得 ，解得 .
因为点 在第一象限，所以 .
将 代入圆的方程得, ,解得 .
所以双曲线的离心率为 .
(2)因为 ，所以圆 .
令 ,则 ,所以 ,恰好是双曲线 的焦点.
因为 上的点 满足 ，根据双曲线的定义可知 .
所以 或 ,因为 ,
在 中,由余弦定理
时, ,解得 ,
时, ,解得 ;
既然 始终存在余弦值,那么其角一定存在,故 始终存在
(3) 过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，即 . 联立直线 与圆 的方程为: .
展开化简得: .
因为 ,则上式可化简得 ,解得 ,记为 ;
联立直线 与双曲线 的方程为: .
展开化简得: ,解得 ,
则 ,记 ,
故 ,
因为直线 与曲线 有两个交点,如图可知,点 在 的上方,所以 .
由 得 ,则 ,解得 ,
又 ,故 ,则 ,
故
所以 的取值范围是 .

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