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高二年级 2025-2026 学年度第二学期四月学情调研 数学试卷
一. 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为
A. 5 B. 8 C. 10 D. 36
2. 四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为
A. 8 B. 12 C. 18 D. 24
3. 若向量 与 不共线，且 ， ， ，则
A. 共线 B. 与 共线
C. 与 共线 D. 共面
4. 已知 ,则 的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 在四面体 中, ,点 在 上,且 是 的中点,则
A. B.
C. D.
6. 长时间玩手机会影响视力. 据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过 1 小时,这些人近视率约为 ,其余学生的近视率约为 . 现从该校随机调查一名学生, 他近视的概率大约是
A. B. C. D.
7. 的展开式中, 的系数为
A. 11 B. 15 C. 20 D. 25
8. 空间直角坐标系 中,过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 ,阅读上面材料,解决下面问题: 已知平面 的方程为 ,点 ,则点 到平面 距离为
A. B. 4
C. D.
二. 选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对于 关于下列排列组合数关系式,结论正确的是
A. B.
C. D.
10. 甲箱中有 2 个红球和 2 个白球, 乙箱中有 2 个红球和 2 个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是红球和白球; 再从乙箱中随机取出两球,用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球, 则
A. B.
C. D.
11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图 1 ，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合, 这个组合再转换成图 3 所示的几何体. 若图 3 中每个正方体的棱长为 1,则
图1
图2
图3
A.
B. 平面 平面
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 直线 与平面 所成角的余弦值为
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若直线 ，则实数 的值为_____.
13. 用 5 种不同的颜色给图中 四个区域涂色,规定每个区域只涂 1 种颜色, 且有临边的区域颜色不能相同, 则不同的涂色方法种数为_____.
14. 已知四棱锥 ，底面 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 .
设 . 若 ，则 _____.
四. 解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明。证明过程或演 算步骤.
15. 3 个男生与 3 个女生站成一排.
(1)若要求 3 个男生互不相邻，有多少种排法
(2)若要求男生甲必须站在男生乙的左边(不一定相邻)，有多少种排法？
(3)若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？
16. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若截面 与底面 所成锐二面角为 ， 求 的长度.
17. 在 ) 的展开式中,最后三项的二项式系数之和等于 29, 第五项系数为 .
(1)求 和 的值；
(2)若 .
(i)求二项式系数最大的项；
(ii) 求 的值.
18. 某大学进行强基计划测试, 已知有 6 名学生进入最后面试环节, 且这 6 名学生全都来自 A. B. C三所学校，其中 A. B. C三所学校参加面试的学生人数比为3:1:2. 该大学要求所有面试学生面试前到场,并随机给每人安排一个面试号码 , 按面试号码 由小到大依次进行面试.
(1)求面试号码为 2 的是 校学生的概率；
(2)求 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A 校所有参加面试的学生完成面试，B.C 两校都还有学生未完成面试)的概率.
(3)求前四个面试中有两个是 A 校学生的条件下，B 组学生最后一个面试的概率.
19. 如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, 平面 平面 是边长为 的等边三角形, 为侧棱 的中点, 为线段 上一点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2) 若 为 中点.
(i) 求异面直线 与 的距离;
(ii) 求四棱锥 的外接球被 所在的平面截得的圆的面积.
高二年级 2025-2026 学年度第二学期四月学情调研 数学试卷参考答案
一. 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. C 2. B 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A
二. 选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. ABD 10. ABC 11. AB
三。填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1 13. 260
14.
四. 解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演 算步骤
15. 解: (1) ; -4 分
(2) ； -8 分
(3) . -13 分
16. 解: (1) 证明: 取 的中点 ,连接 ,
是 的中点, ,且 .
底面 为直角梯形, ,
,
,且 .
四边形 是平行四边形, . -3 分
又 平面 平面 ，
平面 . -6 分
(2)解:如图，分别以 所在直线为 轴、 轴， 轴建立空间直角坐标系,设 ,则 ,
-8 分取平面 的一个法向量为 . -11 分
设平面 的法向量为 ,则有 即
不妨取 ,则 ,即 , -12 分
, -14 分
解得 ，即 的长为 4 . -15 分
17. 解: (1) ,解得 , -3 分 ,则 ,解得 . -5 分
(2)因 ，则二项式系数最大项为第 4 项与第五项， -6 分
-8 分
-10 分
(3) ，求导得
-12 分
令 得 , -14 分
即 . -15 分
18. 解: (1) ; -4 分
(2) ; -10 分
(3)记“前 4 个面试有两个 A 校学生”为事件 M，“B 组学生最后一个面试” 为事件 N， 则 , -13 分
-16 分
则 . -17 分
19.【详解】( 1 ) 平面 平面 ,平面 平面 , 且 平面 ,则 平面 , -2 分
因 平面 ,则 ,又 ,则 ,
因 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,故平面 平面 . -4 分
(2)由 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 故 为 的中点，取 的中点 ，连接 ，
则 平面 ,因 平面 ,则 ,
平面 ,所以 平面 -6 分
故可以 为坐标原点, 所在直线为 轴,过 作 的平行线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
由题意, ,
7 分
设 与 向量都垂直,则
-9 分
则异面直线 的距离 . -11 分
(3)由底面 为正方形，设 外接球球心为 ，
由 得 ,得 ,
则球半径 , -13 分
由(2)知平面 的法向量为 ， -14 分
则球心 到平面 距离为 , -15 分
则球 截平面 所得圆的半径 , -16 分
则截面圆面积为 . -17 分

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