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杭州二中 2025 级高一下数学周末练 6
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1、已知向量 ，若 、 、 三点共线，则 ( )
A. B. -11 C. 11 D.
2、已知复数 ，则 的共轭复数是 ( )
A. B. C. D. 1
3、如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，已知 ， ，则四边形 的周长为( )
A. B.
C. D.
4、设 是表示平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )
A. B.
C. D.
5、在三棱锥 的边 上分别取 四点，若 ,则点 ( )
A. 一定在直线 上 B. 一定在直线 上
C. 在直线 或 上 D. 不在直线 上,也不在直线 上
6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
7、在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 的面积为 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. C. 6 D.
8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为 的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动,则正数 的最大值是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9、已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，则 ( )
A. 当 时, 为纯虚数 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
10、在 中,角 所对的边为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若满足条件的 有 2 个,则 的取值范围为
C. 面积的最大值为
D. 的最大值为
11、在长方体 中，底面 是边长为 4 的正方形， 在棱 上， 且 ,则 ( )
A.
B. 过点 的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点 为球心， 为半径作一个球，则球面与底面 的交线长为
D. 三棱锥 外接球的体积是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12、已知复数 满足 ，则 ( 是虚数单位) 的最小值为_____.
13、已知: 在长方体 中, ,点 是线段 上的一个动点，则 的最小值等于_____.
14、已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 共有 个,若正三角形 的顶点 在圆 上,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、已知向量 ，满足 ， ，向量 ， 的夹角为 .
(1)求 的值；
(2)求向量 与 的夹角 的余弦值.
16、在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且满足
(1)求角 的大小
(2) 的内心为 ，求 周长的取值范围.
17、如图，正方体 中， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)根据多面体 的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明;
(2)求多面体 的表面积和体积.
18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性,规定: 多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差 (多面体的面的内角叫做多面体的面角, 角度用弧度制), 多面体面上非顶点的曲率均为零, 多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 例如: 正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是 , 所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 .
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)若多面体满足:顶点数 - 棱数 + 面数 ，证明:这类多面体的总曲率是常数.
19、已知 的内角 所对的边分别为 ,且
(1)求 ；
(2)若 ，点 在 上，直线 上一点 满足 ，在点 和点 的变化过程中，
(i) 求 的最小值;
(ii) 当 最小时,求 的值.
杭州二中 2025 级高一下数学周末练 6
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1、已知向量 ，若 、 、 三点共线，则 ( )
A. B. -11 C. 11 D.
因为 ,所以 ,
又 三点共线,所以 ,所以 ,解得 .
2、已知复数 ，则 的共轭复数是 ( )
A. B. C. D. 1
因为 ,
所以 ,所以其共轭复数 2i.
3、如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，已知 ， ，则四边形 的周长为( )
A. B.
C. D.
由题意知直观图为等腰梯形 ,
则 ;
将直观图复原为原图, 如图所示:
则 ,
作 于 ,则 ,
所以 ,
故四边形 的周长为 .
4、设 是表示平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )
A. B.
C. D.
是平面内所有向量的一组基底,所以 与 不共线.
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使 ,所以 ,无解,所以假设不成立.
所以 与 不共线,所以能作为基底,所以 错误;
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使
所以 ,无解,所以假设不成立.
所以 与 不共线,所以能作为基底,所以 错误;
对于 ,因为 ,
所以 与 共线,不能作为基底,所以 正确;
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使 ,所以 ,无解,所以假设不成立,所以 与 不共线,
所以能作为基底,所以 错误.
5、在三棱锥 的边 上分别取 四点，若 ,则点 ( )
A. 一定在直线 上 B. 一定在直线 上
C. 在直线 或 上 D. 不在直线 上,也不在直线 上
如图,
平面 平面 平面 平面 .
又平面 平面 .
故选: .
6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
设圆锥与半球的底面半径为 ,圆锥的高为 ,母线长为 ,轴截面的顶角为 .
则由 可得 ，即 .
所以圆锥的母线长 ,
由余弦定理可得 ,
所以圆锥轴截面顶角的余弦值是 ,故其正弦值是 .
7、在 中，内角 所对的边分别为 . 已知 的面积为 ，则 的最小值为 ( )
A. 3 B. C. 6 D.
由 ,
根据正弦定理得， ，
则 ,
在 中, ,则 ,即 ,
又 ，则 ，
又 ,则 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,
则 的最小值为 6 .
8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为 的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动,则正数 的最大值是 ( )
A. B. C. D.
当正四面体的外接球为圆锥的内切球时, 的值最大.
因为圆锥的底面半径为 1,轴截面为正三角形,所以正三角形的边长为 2,
如图(一)，圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径， ， 即内切球的半径为 .
因为正四面体的边长为 ,则补全为正方体时其棱长为 ,如图(二)所示,
图(一)
图(二)
所以正四面体的外接球半径 ,所以 ,
故选: .
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9、已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，则 ( )
A. 当 时, 为纯虚数 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
对 当 时, ,故 错误;
对 : 当 时, ,故 正确;
对 : 当 时, ,此时 ,故 正确;
对 : 当 时, ,
所以
,故 正确.
10、在 中，角 所对的边为 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若满足条件的 有 2 个，则 的取值范围为
C. 面积的最大值为
D. 的最大值为
对于 ,由余弦定理得 ,即 ,解得 ，故 错误；
对于 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，结合正弦函数图象，
要使角 有两个值，则 ，所以 ，故 正确；
对于 ,因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,
所以 面积 ,故 正确;
对于 ,由正弦定理得 ,则
所以 ,
其中 ,因为 ,所以当 时, 的最大值为 ,故 正确.
11、在长方体 中，底面 是边长为 4 的正方形， 在棱 上， 且 ,则 ( )
A.
B. 过点 的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点 为球心， 为半径作一个球，则球面与底面 的交线长为
D. 三棱锥 外接球的体积是
设 ,在直角 中,根据勾股定理得 ,
在直角 中,根据勾股定理得 ,解得 ,故 1 , 故 正确,
延长 相交于点 ,连接 交 于点 ,则截面周长为 ,
在 中,利用三角形相似可得 ,在 中,利用三角形相似可得 ,
，又底面 是边长为 4 的正方形，则 ，
故截面周长为 ，故 正确，
点 到底面 的距离为 1,球的半径为 ，设球面与底面 (正方形) 的交线为半圆,
圆心在线段 上且与 距离为 1,圆的半径 ,可得交线长为 ,故 错误,
在 中, ,则 的外接圆半径 , 显然 平面 ,
因此三棱锥 的外接球的球心 在线段 的中垂线上,球心 到平面 的距离为 ,
则球半径 ,故三棱锥 的外接球体积为 ,故 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12、已知复数 满足 ，则 ( 是虚数单位)的最小值为_____.
复数 满足 ,则复数 对应的点 在以 为圆心,半径 1 的圆上,
而 表示圆上的点 到定点 的距离 ,
圆心 到定点 距离为:
所以 ( 是虚数单位) 的最小值为: .
13、已知: 在长方体 中, ,点 是线段 上的一个动点，则 的最小值等于_____.
由长方体的性质可知, .
将 与 以 为公共边展开成一平面四边形 ,如图:
易证四边形 是平行四边形,所以当 三点共线时,即 时最小.
根据平行四边形对角线和四条边的性质即:
代入数据得: ，解得 .
的最小值等于 .
14、已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 共有 个,若正三角形 的顶点 在圆 上,则 的最大值为_____.
由题知正 边形顶点为 ,设 和 夹角为 ,
由题意可得,满足 的顶点 仅 3 个,
不等式两边平方可得 ,
因为正 边形 内接于单位圆 ，
所以 ,且 ,
所以 ,则 ,故 ,
故满足条件的顶点只能为 这三个,
所以有 ,解得 ,又 为偶数,故 ;
下面求 的最大值.
如图,由正三角形 中,取 中点 ,连接 ,
则 ,故 三点共线,设 ,
则 ,
所以 ,当 时,等号取到,
故 ,且当 时, 取到最大值 24 .
故答案为: 24 .
四、解答题:本题共5 小题, 共77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15、已知向量 ，满足 ， ，向量 ， 的夹角为 .
(1)求 的值；
(2)求向量 与 的夹角 的余弦值.
(1) 由题意可得, ,
则 ;
( 2 )由已知， ，
则向量 与 的夹角 的余弦值为 .
16、在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且满足
(1)求角 的大小
(2) 的内心为 ，求 周长的取值范围.
(1) 根据正弦定理,得 ,即
而 ,故 ,又 ,所以
(2)由(1)可得 ，即 ，
设 的内心为 ,即 ,故 .
设 ，则 ，在 中，由正弦定理得，
所以 ,
所以 的周长为 ,因为
所以 ,所以 ,所以
故 的周长取值范围为 .
17、如图，正方体 中， ，点 分别是棱 的中点.
(1)根据多面体 的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明;
(2)求多面体 的表面积和体积.
(1) 几何体 是三棱台,证明如下:
因为点 分别是棱 的中点,连接 ,所以 ,
且 ,因此四边形 是梯形.
延长 相交于点 ,因为 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 平面 .
因为平面 平面 ,所以 ,
所以直线 相交于同一个点 .
所以几何体 是三棱锥,
由于平面 平面 ,因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,
底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 所以几何体 是三棱台.
(2)因为 ，所以 ， ，
在等腰梯形 中， ， ，高 ，
所以 .
又因为 ,
所以三棱台 的表面积是 .
因为三棱台 的高 ，
所以棱台 的体积
18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性,规定: 多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差 (多面体的面的内角叫做多面体的面角, 角度用弧度制), 多面体面上非顶点的曲率均为零, 多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 例如: 正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 .
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)若多面体满足:顶点数 - 棱数 + 面数 = 2，证明:这类多面体的总曲率是常数.
(1) 由题可知: 四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑, 所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合. 由图可知: 四棱锥共有 5 个顶点, 5 个面, 其中 4 个为三角形, 1 个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由 4 个为三角形, 1 个为四边形组成,
则其总曲率为: .
(2)设顶点数、棱数、面数分别为 、 、 ，所以有
设第 个面的棱数为 ,所以
所以总曲率为:
所以这类多面体的总曲率是常数.
本题考查立体几何的新定义问题, 能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键.
19、已知 的内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 ，点 在 上，直线 上一点 满足 ，在点 和点 的变化过程中,
(i) 求 的最小值;
(ii) 当 最小时,求 的值.
(1) 在 中,因为 ,所以 ,代入得到
由正弦定理得 ,
由余弦定理得 ,
化简得 ,
又 ,
所以
(2)(i)因为 ，所以 ，所以
如图, 建立平面直角坐标系
此时
设
因为 ,所以
设 ,代入得 ,
整理得 ,解得
,当且仅当 取得等号
又因为 ,当且仅当 取得等号,
所以 的最小值为
(ii) 此时 ,所以直线 ,
,所以直线 ,
联立 ，解得 ，所以

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