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上饶市2026届高三年级第二次高考模拟考试 数学试题卷
1. 本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I卷时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。
4. 本试卷共 19 题, 总分 150 分, 考试时间 120 分钟.
第 I 卷 (选择题)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1: 已知 ,则
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，若 ，则 (A)
A. 4 B. 5 C. D.
3. 已知某圆锥底面半径为 1,高为 3,则该圆锥的外接球表面积为
A. B. C. D.
4. 若函数 的定义域为 ,则此函数的值域为
A. B. C. D.
5. 已知复数 为方程 的虚数根,则 ( A ) (注: 为虚数单位)
A. -1 B. 1 C. D.
6. 在 中， 分别为 的对边，若 ，则 为( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 以上三个选项都有可能
7. 已知 为随机事件,且 ,则“ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,过其右焦点 的直线 与它的右支交于 两点, 与 轴相交于点 的内切圆与边 相切于点 ,若 , 则当 的内切圆 (圆心为 ) 与 的内切圆 (圆心为 ) 的面积之和取最小值时, 的面积为( ▲ )
A. 24 B. 25 C. 48 D. 49
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法不正确的是( A )
A. 已知高三(1)班五名学生市一模的数学成绩分别99、106、112、105、128，则该组数据的第 60 百分位数为 106
B. 相关系数 的值越小,两个变量之间的线性相关性越弱
C. 若离散型随机变量 服从参数为 的二项分布,则其方差
D. 若事件 和 互斥,则
10. 已知 ,设 的最小值为 ,且 为自然对数的底数), 则下列说法正确的是 ( A )
A. B. 的最大值是
C.
D. 若 且 ，则
11. 高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家. 他被认为是历史上最重要的数学家之一,有“数学王子”的美誉. 高斯函数 表示不超过 的最大整数,如 , ,则
A. 对于 ,有
B. 是单调函数
C. 方程 有无数组解
D. 方程 共有 2 个不等的实数根
第II卷 (非选择题)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 为定义在 上的奇函数,且当 时 ,则 _____▲_____.
13. 若 ,且 “ ” 为假命题,则 _____▲_____.
14. 如图，平从 到 ， ，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交。如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路。 那么不同的孤立路总计对数为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分) 如图,在三棱锥 中, 为边长为 2 的正三角形, , .
(1)证明:平面 平面 .
(2)已知 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (本题满分 15 分) 泊松分布 (PoissonDistribution) 是一种重要的离散型分布, 用于描述稀有事件的发生情况. 如果随机变量 的所有可能取值为 ,且 , 其中 为自然对数的底数,则称 服从泊松分布,记作 .
(1)当 时,泊松分布近似于正态分布,且满足 ,若 ,求 的近似值;
(2)已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，即对于 ,当 不太大时,有 . 已知某快递公司共有 30000 个包裹待配送, 每个包裹有 0.0001 的概率出现配送延迟. 试估计某天出现至少 3 起配送延迟的概率; (保留两位有效数字)
(3)若 ，且 ，求 的取值范围.
参考数据: 若 ,则有 ,
17. (本题满分 15 分) 已知 为数列 的前 项的积,且 为数列 的前 项的和, 若 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式.
18. (本题满分 17 分) 在平面直角坐标系 中,椭圆 的左顶点为 , 椭圆上动点到左焦点 与原点 的最小距离分别为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点且直线 方程为
① 点 是椭圆 上的动点，若四边形 为平行四边形，证明该平行四边形面积为定值；
② 若点 为 的外心，且 在抛物线 的准线上,求实数 的取值范围.
19. (本题满分 17 分)
(1)证明: ;
(2)实数 ，若不等式 在 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明: .
上饶市 2026 届第二次高考模拟考试 数学试卷 参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D B A D C A ABC BD AC
填空题
12. 1
13 14 176
1 答案: B. .
2 答案: D. ,则
3 答案: D. 根据题意,设圆锥外接球的半径为 ,则有 ,解可得 , 则该圆锥的外接球表面积 .
4 答案: B. 函数 的定义域为 ,则 ,或 , 当 时, ,当 时, , 综上,函数的值域为
5. 答案: A. ,故 ,选 A
6. 答案: D. ,则 ,整理可得 ,则 , 结合 是三角形的内角,则 ,但其余两角钝角、直角、锐角均有可能,故选 D
7. 答案: C. 说明了 的发生与否与 的发生与否无关,即 与 相互独立,其等价于
与 相互独立,而由事件独立性定义可知: 当 时, 与 相互独立,故为充要条件,选
8. 答案: ,因为 在 轴上,所以 ,所以
,则
设两内切圆半径分别为 ,设 与圆 分别相切于点 ,由切线长定理得
而 ,两式相加得 ,所以 是双曲线的右顶点 , 轴,所以 的横坐标为 ,同理可求得 的横坐标为 ,则 ,设直线 的倾斜角为 ,则 ,
在 中有 ,设 , 所以 显然,当 ,即 时, 的内切圆与 的内切圆的面积之和取最小值 8,此时 面积为 . 选 A
9. 答案: ABC
A 数据 99、106、112、105、128 从小到大排序后即为 99、105、106、112、128,5 × 60%=3，故第 60 百分位数为第 3 个与第 4 个数据的算术平均数: 109
B 相关系数 r 越接近 -1 ，线性相关性越强
C
D 正确
10. 答案: BD
A
当且仅当 ,即 时取等号, A 错误
B 由设 ,求导得 在 单调递增, 单调递减,故 最大值为 ,则 的最大值是 , B 正确
C 令 ,则 ,所以 在区间 上单调递增, 又 即 ,即 ,即 故 C 错误;
D 由 , ,即 ,故 D 正确.
11. 答案: AC
A 设 ,其中 分别是 的整数部分, 分别是 的小数部分,
则 ,所以
,故 A 正确;
B 当 时，此时 ，故 B 错误；
当 . 49 满足 故 正确;
D 由 ,得 ,则 .
当 时， ，此时 ；当 时， ，代入原方程，得 ，
即 或 (舍去)，解得 ; 当 时， ，代入原方程，得 ，即 ，
不符合题意; 当 时, ,代入原方程,得 ,
即 或 (舍去),解得 ,综上,原方程共有 3 个不同的实根,故 D 错误. 故选: AC
12. 答案: 1微信搜《高三标答公众号》获取全科
因为 是奇函数,所以 ,所以 ,
13. 答案:
(恒成立中的共零点问题) 由题得: 函数 与函数 有相同的零点,而 在 的零点为 ,所以 也是 的两个根,
即: .
14. 答案: 176
首先计算总的路径的对数: 甲从 到 ,需要向右走 3 步,向上走 3 步,共需 6 步,所以从 到 共有 种走法,乙从 到 ,需要向右走 3 步,向上走 3 步,共需 6 步,所以从 到 共有 种走法,
根据分步乘法计数原理可知,共有不同路径 对.
再计算有相交路径的对数: (等价转换思路) 有相交的路径可以理解为过交点后, 甲乙交换线路分别到达目的地,这样就等价于甲从 到 ,乙从 到 的路径对数: 甲从 到 ,需要向右走 5 步,向上走 3 步,共需 8 步,所以从 到 共有 种走法,乙从 到 , 需要向右走 1 步,向上走 3 步,共需 4 步,所以从 到 共有 种走法,所以相交路径共有 对，因此不同的孤立路一共有: 对.
15.(1)证明:取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为边长为 2 的正三角形,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 , (2 分)
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 , (4 分)
因为 平面 ,
所以平面 平面 . (6 分)
(2)过点 作直线 ，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
(7 分)
则 ,
, (8 分)
设平面 的法向量为 ,微信搜《高三标答公众号》获取全科
则 ,则 ,
令 ,则 , (11 分)
设直线 与平面 所成的角为 ,所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (13 分)
16. 解:(1)当 时，泊松分布近似于正态分布，且满足 ，若 (900)， 当 时,泊松分布 近似于正态分布 , (2 分) 即 ,要计算 ,
根据正态分布的性质, , (4 分)
.
(2)当 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，
即对于 ,
设 为配送延迟包裹数,则 ,
,
(6 分)
,
那么, 某天至少 3 起配送延迟的概率约为:
. (9 分)
(3)由 ，得 中 ， (10 分)
根据泊松分布的概率公式: ,得 .
设 ,
由 ,知 在 上为减函数. (12 分)
, (14 分)
,即 ,
的取值范围为 . (15 分)
17.,(1) 证明: . (2 分)
, (4 分)
是以 为首项,2 为公差的等差数列. (6 分)
(2)由(1)可得 , (8 分)
时, ; (10 分)
时, (12 分)
而 均不满足上式.
(15 分)
18. (1) ；(2)① 为定值；②
(1)依题意， ， (2 分)
得 ,所以椭圆 的方程为 (4 分)
(2)① 设点 ，当其方程为 ，
由 ,得 .
(6 分)
(7 分)
原点 到直线 的距离 ,
依题意知, ,则点 , (8 分)
由点 在椭圆 上，得 ，又 ，
则 ,即 ,
整理得 ,即
则 (10 分)
因此
所以该平行四边形面积 为定值. (11 分)
② 点 ，由①得线段 的中点 ， 的中点 ， ,
线段 的中垂线方程为 ,即 , 同理线段 的中垂线方程为 ,
由 的外心 在直线 上,得 ,解得 (14 分)
而 ,则 ,解得 或 .
则 取值范围为 . (17 分)
注未考虑 扣 1 分
19.(1)见解析(2) (3)见解析
解析:
(1)设 ，则 ； (1 分)
令 ,则 ,可得 在区间 上单调递减,
故 ,所以 在区间 上单调递减,因此 .
所以当 时, (4 分)
(2)方法一:(数形结合)由题: ，令
不等式 恒成立,说明函数 的图象在直线 的下方. - (5 分)
函数 的周期为 (6 分)
当 时, ;
当 时, . 故函数 在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减. (7 分)
可作出函数 的图象如图所示. 注意到 在 处的切线斜率为 ,直线 的斜率为 . 于是,对任意 ,当且仅当 时, 成立.
故 的取值范围为 ._____ (9 分)
(2)方法二:设函数 ，求导得 (5 分) . (6 分)
当 时, ,函数 在 上单调递增, ,因此 ; (7 分)
当 时,令 ,求导得 ,
则 ,使得 ,当 时, ,函数 在 上递增,
当 时, ,即 ,因此 ,
此时 ,不符合题意; (8 分)
当 时， ，不符合题意，所以 的取值范围 . (9 分)
(3)由(2)可知，当 时， (11 分)
由 (1) 可知 (13 分)
(15 分)
得证. (17 分)

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