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衡阳市八中2026年高考适应性练习卷 (三) 数学
时量 120 分钟满分 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知全集 ,则 ( )
A. B. 或
C. D.
2. 设 是复数，则 “ ” 是 “ 的实部与虚部相等” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 . 现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为( )
A. B.
C. D.
4. 已知 成等比数列,且 2 和 8 为其中的两项,则 的最小值为 ( )
A. -32 B. -16
C. D.
5. 若存在 ，使得点 在圆 外，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 设 是半径为 1 的圆上三点,若 ,则 的最大值为()
A. 1 B. C. D. 2
7. 明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范. 如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为10cm的半球面. 现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为 ， 若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为( )
A. B. 45° C. 60° D. 75°
8. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 的上顶点, 为椭圆 的右顶点,连接 交椭圆 于另一点 ,若 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 表示不超过 的最大整数. 若 ,则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D.
10. 已知随机变量 ，记 ，其中 ， ，则()
A. B.
C. D. 若 ,则
11. 若点 为点 在平面 上的正投影,则记 . 如图,在棱长为 1 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是线段 上一动点， ， .则下列说法正确的是( )
A. 为 的重心;
B. ;
C. 当 时， 平面 ；
D. 当三棱锥 的体积最大时,三棱锥 外接球的表面积为 .
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 展开式中的常数项为_____.
13. 定长为 1 的线段 的两个端点在抛物线 上移动, 为线段 的中点,则点 到 轴的最短距离为_____.
14. 已知函数 ,将曲线 绕坐标原点顺时针旋转 后,得到的曲线为函数 的图象,则函数 的最小值为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)
已知数列 满足 .
(1)证明: 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 为整数，且对任意 ， ，求 的最小值.
16. (本题满分 15 分)
脑机接口,即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接,实现脑与设备的信息交换. 近日埃隆. 马斯克宣布，脑机接口公司 Neuralink 正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑. 未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值. 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量的的_____，_____v_____增大。 量 (人) 的 10 组数据. 现用模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程, 并进行残差分析, 得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中 .
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由.
(2)根据(1)中所选模型，求出 关于 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 8 亿元，研发人员增量至少多少人？(精确到 1)
附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率。 及截距的最小二乘估计分别为 .
17. (本题满分 15 分)
如图，在直角坐标系 中， ， ， ，动点 与 ， 两点构成 ， 中角 ，
的对边分别为 ，且满足 .
(1)当 点运动时，探究 是否为定值，并求出动点 的轨迹方程.
(2)点 在点 的轨迹上且满足 ,求坐标原点 到直线 的距离.
18. (本题满分17 分)
设函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 是函数 的极大值点.
(i) 求 的取值范围,并证明函数 必有三个极值点;
(ii) 在 (i) 中,记函数 的三个极值点中的最大者与最小者分别为 . 证明:
19. (本题满分 17 分)
如图 1,圆内接四边形 中, 为等腰直角三角形,且 .
图1
图2
(1)求 的长；
(2)如图 2，将 沿 翻折，形成四面体 ，当 时，
(i) 求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 找出一组依次排列的四个相互平行的平面 ,使得 ,且其中每相邻两个平面间的距离都相等, 并求出相邻两个平面间的距离.
衡阳市八中2026年高考适应性练习卷 (三) 数学
时量 120 分钟命题人:谢德斌
满分 150 分审题人:彭韬
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D B D B B A BC ABD ABD
题号 12 13 14
答案 16
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知全集 ,则 ( )
A. B. 或
C. D.
【答案】
【答案】 或 ，所以
2. 设 是复数，则 “ ” 是 “ 的实部与虚部相等” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】
由复数模的几何意义知,复数 对应的点 到点 距离与它到点 的距离相等,即 的轨迹方程为 ,故 的实部与虚部相等,互为充要条件.
3. 如图,测量河对岸的塔高 时,可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 . 现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为( )
A. B.
C. D.
【答案】
在 中利用正弦定理得, ,
即 ,则 ,
在 中得, ,则 .
故选:
4. 已知 成等比数列,且 2 和 8 为其中的两项,则 的最小值为 ( )
A. -32 B. -16 C. D.
【答案】
由题意,要使 最小,则 都是负数,
则 和 选择 2 和 8,设等比数列的公比为 ,
当 时, ,所以 ,所以 ;
当 时, ,所以 ,所以 ;
综上, 的最小值为 -16 . 故选: .
5. 若存在 ,使得点 在圆 外,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】
法 1: 令 ,转化为 在 上有解,
则 ,则 .
法 2: 考虑反面: 对 ,圆 内含或内切于圆 ,则 , 故由 ,解得 即为所求.
6. 设 是半径为 1 的圆上三点,若 ，则 的最大值为 ( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】
法 1: 如图: 设
则
所以
(当 时取等号)
法 2:由题画出图形，则向量 ， 的夹角为锐角时适合题意，过 作 ，交直线 于点 ， 则 ，
故当 取得最大值时, 的值最大.
设圆心为 ,因为圆的半径为 1,故 是边长为 1 的等边三角形,
且当 与圆 相切时, 的值最大,
过 作 ,交 于 ,连接 ,则四边形 为矩形,
所以 ,则 ,即 的最大值为
故 的最大值为 . 故选:
7. 明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范. 如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为 的半球面. 现将碗平放于水平桌面上,在碗中注入少量水，静止时水面的面积为 ,
若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为( )
A. B. C. D.
【答案】
图一
如图一,由 ,则圆 半径 ,又球半径 ,则球心 到水面的距离 ,所以 ,
考虑临界状态,如图二,即倾斜后水面恰好经过 ,由于水的体积没变,则球心 到水面的距离 ,在 中,故 ,选 .
8. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 的上顶点, 为椭圆 的右顶点,连接 交椭圆 于另一点 ,若 ,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】
方法一:如图，连接 ，因为 为椭圆 的上顶点，所以 ，因为 ，
所以 ,
故 ,解得 ,
设 ,则 ,
,由余弦定理有 ,即 ,解得 ,
因为 ,所以 ,化简得 ,
即 ,整理得 ,解得 ,故 正确. 故选: .
方法二: ,设 倾斜角为
,选: .
方法三: 由 ,可得 ,代入椭圆方
程可得: ,化为 ,即 ,
可得
方法四: ,
令 ,得 ,选 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 表示不超过 的最大整数. 若 ,则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D.
【答案】
对于 : 取 ,则 错误;
对于 ,即 为偶函数. 正确;
对于 : 显然 正确;
对于 : 显然 错误.
故选 .
10. 已知随机变量 ,记 ,其中 ,则( )
A. B.
C. D. 若 ,则
【答案】
对于 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,所以 正确;
对于 ,当 时, ,所以 错误;
对于 ,因为 ,所以当 时, 最大,所以 正确;
证明如下: 若 ,则 ,
若 ,则 ,解得 ,
故当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
即当 为整数时, 或 时, 取得最大值,
当 不为整数, 为 的整数部分时, 取得最大值.
故选: .
11. 若点 为点 在平面 上的正投影,则记 . 如图,在棱长为 1 的正方体 中,记平面 为 ,平面 为 ,点 是线段 上一动点, . 则下列说法正确的是( )
A. 为 的重心;
B. ;
C. 当 时， 平面 ；
D. 当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为 .
【答案】
因为 ,连接 ,则有 平面 平面 , 为正三角形,所以 为正三角形 的中心,也是 的重心,所以 正确; 由 平面 ,可知平面 平面 ,记 ,
由 ,可得 平面 平面 ,则 ,所以 正确; 若 平面 ,则 ,设 ,
由 得
,易得 ,由 ,则 ,
由 得: ,解得 ,所以 不正确;
当 与 重合时, 最大, 为棱长为 的正四面体,其外接球半径 , 则 ,所以 正确.
故选 .
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 展开式中的常数项为_____.
【答案】16
展开式中的常数项为
13. 定长为 1 的线段 的两个端点在抛物线 上移动, 为线段 的中点,则点 到 轴的最短距离为_____.
【答案】
依题可设
由
所以 ,(当 时取等号)
14. 已知函数 ,将曲线 绕坐标原点顺时针旋转 后,得到的曲线为函数 的图象，则函数 的最小值为_____.
【答案】 或写成
易知 ,令 ,解得 ,
又 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,
整理得 ,则原点到该直线的距离 ,
即函数 的最小值为 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)
已知数列 满足 .
(1)证明: 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 为整数，且对任意 ， ，求 的最小值.
(1) 由已知得 ,
所以 是首项为 1,公差为 的等差数列. 所以 .
故 的通项公式是 . -5 分
(2) 由 (1) 得 . 设 ,则 . 当 时,
所以 . -12 分
又 ,所以符合题设条件的 的最小值为 9 . -13 分
注: 先说 是递增数列,再说 ,从而 的最小值为 9,也可以。如果没说 是递增数列, 直接从 得到 的最小值为 9,需要酌情扣分.
16. (本题满分 15 分)
脑机接口, 即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接, 实现脑与设备的信息交换. 近日埃隆. 马斯克宣布，脑机接口公司 Neuralink 正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑. 未来 10 到 20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值. 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 (单位:亿元)与研发人员增量 (人) 的 10 组数据. 现用模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程, 并进行残差分析, 得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中 .
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由.
(2)根据(1)中所选模型，求出 关于 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 8 亿元，研发人员增量至少多少人 (精确到1)
附:对于一组具有线性相关关系的数据 ,其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .
【答案】(1)选择模型②
(2) ,10 人
(1) 选择模型②，理由如下:
由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. 4 分 ( 2 )根据模型②，令 与 可用线性回归来拟合，有 .
则 , -9 分
所以 ,
则 关于 的经验回归方程为 ,所以 关于 的经验回归方程为 .
由题意, ,解得 ,又 为整数,所以 .
所以,要使年收益增量超过 8 亿元,研发人员增量至少为 10 人. -15 分
17. (本题满分 15 分)
如图，在直角坐标系 中， ， ， ，动点 与 ， 两点构成 ， 中角 ， 的对边分别为 ，且满足 .
(1)当 点运动时,探究 是否为定值，并求出动点 的轨迹方程.
(2) 点 在点 的轨迹上且满足 ,求坐标原点 到直线 的距离.
解:(1) 在 中，
由正弦定理有:
-3 分
而 ,分别在 中利用余弦定理可得:
,化简得 .
,即 , -5 分
根据双曲线定义,点 的轨迹为 . -6 分
(2) 由题直线 斜率不为 0,设其方程为
又 ,
即 ,所以 -11 分代入韦达定理可得: -12 分
点 到直线 的距离 . -15 分
18. (本题满分 17 分)
设函数 .
(1)求 的最小值；
(2) 若 是函数 的极大值点.
(i) 求 的取值范围,并证明函数 必有三个极值点;
(ii) 在 (i) 中,记函数 的三个极值点中的最大者与最小者分别为 . 证明: ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增, -3 分
(2)(i) , 由
. 当 时, ,得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,此时 是 的极小值点,舍去.
. 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
又 ,所以 在 及 上各有一个零点,分别记为 . 所以 ,且满足 .
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
此时 是极小值点,舍去.
. 当 时, ,则由 知 ,
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增;
此时 是极小值点,舍去.
. 当 时,则由 知 ,
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
此时 是 的极大值点, 及 是 的极小值点.
综上得 . -9 分
(ii) 由 (i) 的讨论知, 的三个极值点分别为 ,且
所以 ,而 的两根为 ,可得 ,即 (*)
同理可得: ,所以 , 则 ,要证 ,
即证 ,即转化为证明 即可; 只需证 ,即 可得 ; 由 ,所以可得 ,
要证: ,由 (1) 知 在 上单调递减; 即证 ,又 , 由 ,即证 ,即 ,
可得 ,即 ,可得 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递减,
即 ,所以 ,即 在 上单调递减;
因此 ,即可得证. -17 分
19. (本题满分 17 分)
如图 1,圆内接四边形 中, 为等腰直角三角形,且 .
图1
图2
(1)求 的长；
(2) 如图 2，将 沿 翻折，形成四面体 ，当 时，
(i) 求直线 与平面 所成角的正弦值；
(ii) 找出一组依次排列的四个相互平行的平面 ,使得 ,且其中每相邻两个平面间的距离都相等, 并求出相邻两个平面间的距离.
(方法一)
(1)在圆内接四边形 中， 为等腰直角三角形， ，
所以 ，在 中，因为 ，所以 ，
，所以 .
在 中, ,
由余弦定理得
,
所以 . -5 分
(2)以 的中点 为原点，以 ， 方向为 ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
,则 .
(i) 设 ,由 (1) 可知, ,
又因为 ,
所以
解得 ,即 ,
则 . 取平面 的一个法向量 ,设直线 与平面 所成角为 , 所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . -10 分
(ii) 如图所示,取 的三等分点 的中点 ,过三点 作平面 ,过三点 作平面 , 因为 平面 平面 ,所以 平面 ,同理 平面 ,又因为 , 所以平面 平面 ,再过点 分别作平面 与平面 平行,那么四个平面 依次相互平行,由线段 被平行平面 截得的线段相等知,其中每相邻两个平面间的距离相等,
故 为所求平面. -12 分
由 (i) 可知 ,
所以 ,
.
设平面 的法向量 ,则
即 可取 ,
所以点 到平面 的距离 , 故相邻两个平面间的距离为 .
(方法二) (1) 在圆内接四边形 中, 为等腰直角三角形, ,所以 是圆的直径, .
在 中, ,所以
,
由正弦定理得 ,又 ,
故 . -5 分
(2) (i) 设 的中点为 的中点为 的中点为 ,连接 .
由 (1) 知 ,则 ,又因为 ,所以 平面 ,所以平面 平面 . 过点 作 交直线 于点 ,连接 ,又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 ,则 为直线 在平面 上的射影, 为直线 与平面 所成角.
由 (1) 知 ,则 .
又因为 ,所以 ,
所以 ,则 .
在 中, .
所以 ,得 ,
所以 ，得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . -10 分
(ii) 以 为原点,以 方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 . 设平面 的法向量 ,
由 (i) 可知 ,
所以 .
由 两两平行且每相邻两个平面间的距离都相等,
可得 ,
从而 ,
由 可得 或 .
若 ,由 得 ,从而 或 .
若 ,由 得 ,从而 或 .
综上,可得 ,或 ,
或 ,或 .
当 或 时,由于 ,此时 ,
从而点 在点 与 所确定的平面上,与条件矛盾,舍去;
当 ,由于 ,此时 ,
从而点 在点 与 所确定的平面上,与条件矛盾,舍去;
当 ,可求点 到平面 的距离 ,
此时 分别为过 ,且以 为法向量的平面,所以相邻两个平面间的距离为 分

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