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辽宁省名校联盟 2026 年高考模拟卷(信息卷) 数学(二)
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 复数 的虚部为
A. 1 B. -1 C. i D. 10
2. 已知集合 ，且 ，则
A. -1 B. -2
C. D. 1
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则
A. 3 B. C. D. 9
4. 已知 为 三个内角 的对边,且 ,则
A. B. C. D.
5. 把 7 个不同的毛绒玩具全部分给 3 个小朋友，每人至少 1 个且至多 3 个，则不同的分法种数为
A. 301 B. 756 C. 1 050 D. 1806
6. 已知 是函数 图象上的动点,则点 与动点 距离的最小值为
A. e B. 2e C. D. 1+e
7. 在正四棱台 中, ,若该四棱台内有一个球,则该球半径的最大值为
A. B. C. D.
8. 对于函数 ，若 ，则称 为该函数的“不动点”；若 ，则称 为该函数的“稳定点”. 已知函数 满足 ,当 时, . 又 ,若 在定义域 内存在 “稳定点”,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知等差数列 的前 项和 ，则
A. B.
C.
D. 数列 的最小值为 -1
10. 已知函数 ,则下列选项正确的有
A. 当 时, 在 上单调递减
B. 当 时, 的定义域为
C. 当 时， 的值域为
D. 当 时，关于 的方程 有唯一解
11. 已知抛物线 与圆 交于 ， 两点，直线 与圆 在第一象限的交点为 ,与 的交点为 ,则
A.
B.
C. 周长的取值范围为
D. 面积的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，则 在 上的投影向量 的坐标为_____.
13. 已知函数 ,若方程 在区间 内的解为 ,则
14. 甲、乙两人各有 5 张扑克牌,甲的扑克牌分别为 的扑克牌分别为 ,两人进行五轮比牌, 在每轮比牌中, 两人各自从自己的扑克牌中随机选一张, 并比较牌上数字的大小, 数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，一样大都得 0 分，然后各自弃置此轮所选的扑克牌(弃置的扑克牌在此后的轮次中不能再使用。五轮比赛后，甲得 3 分，乙得 1 分的概率为_____.
注:在扑克牌中 J 认为是数字 11, K 认为是数字 13. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某工厂生产一种标准长度为 的管件,市场质检部门随机抽检了该厂生产的 1000 件产品, 经测量、统计后得下表.
测量长度(单位:cm) 49.97 49.98 49.99 50 50.01 50.02 50.03 50.04
频数 25 85 140 400 160 115 50 25
视市场质检部门抽检产品长度的频率为该厂产品长度的概率,将管件的测量长度 与标准长度 50 cm 的差的绝对值称为“绝对误差”.
(1)设抽检产品的“绝对误差”为 ，求 的数学期望；
(2)从该厂产品中随机抽取 2 件，若至少有 1 件产品的测量长度为 的概率不小于 0.8 ，则认为该厂产品合格，可以上市销售. 判断该厂产品能否上市销售，若能，请说明理由；若不能，则该厂每生产 1000 件产品中至少有多少件是标准长度为 的产品才可上市销售
参考数据: .
16.(15 分)
已知数列 满足 ,且 .
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
17. (15分)
在平面直角坐标系 中,已知 为动点,且直线 与直线 的斜率之积为 ，设动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 相交于 两点,若 上存在点 ，使得 成立，求 的取值范围.
18. (17 分)
在四棱柱 中,四边形 为平行四边形,三棱锥 为正三棱锥, 2, , 为 的中点, 为线段 上的动点 (含端点).
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求点 到平面 距离的最小值；
(3)将四棱锥 绕直线 逆时针旋转 后,得到四棱锥 ，则是否存在 ,使得直线 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值；
(2)若关于 的方程 存在两个根分别为 ,求证: ;
(3)若 ，求 的取值范围.
数学 (二)
一、选择题
1. A 因为 ,所以其虚部为 1 . 故选 A 项.
2. C 由 ,解得 ,所以 ,又 ,所以 解得 . 故选 C 项.
3. 由题意得 ,由双曲线方程可知其渐近线方程为 ,又 是其一条渐近线方程,则 ,所以 . 故选 D 项.
4. B 在 中,由正弦定理得 ,又 0,所以 ,所以 ,又 ,所以 . 由余弦定理得 ,所以 . 故选 B 项.
5. C 7 个不同的毛绒玩具分为 3 组, 有 ,共 2 类不同的分组情况. 按 分给 3 个小朋友有 种不同的分法; 按 分给 3 个小朋友有 种不同的分法. 综上,共有 种不同的分法. 故选 C 项.
6. 设 ,由题意得 . 设 ,则 ,由 ,得 ,当 时, ,当 时, ，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，所以 ,所以 的最小值为 ,故 的最小值为 . 故选 B 项.
7. A 如图,设上、下底面的中心分别为 和 ,作正四棱台 的截面 ,其中 分别是 的中点，
由 ,得 9， ，当该球的半径最大时，设该球的球心为 ,半径为 . 若球的半径最大时先和上、下底面相切，则 ；
若球的半径最大时先和侧面相切, 如图, 设球和侧面 的切点分别为 ,
由上得 , 解得 ,所以 ，解得 . 因为 ，所以球的半径最大时先和侧面相切,所以 . 故选 A 项.
8. D 当 时, ,则 ,由 , 得 , 此时 ,显然 在定义域 (1，2)内单调递增，因为 在定义域(1，2) 内存在 “稳定点”,所以存在 , 成立. 假设 ,则有 和 两种情况. 若 ,因为 在区间 内单调递增,所以 与 矛盾; 若 ,因为 在区间 , 2) 内单调递增,所以 与 矛盾,故 ,所以 在定义域 内的“稳定点” 为 在定义域 内的“不动点”,设 ,即 ,又 ,所以 . 故选 D 项.
二、选择题
9. BCD 设 的公差为 ，由前 项和公式 ,解得 -11,所以 ,故 项错误, B 项正确; 由上知 ,由 0,得 ,所以数列 的前 6 项均小于 0,从第 7 项开始均大于 0,所以 -36,故 C 项正确; 由上知 ,当 时, ,且数列 递减,当 时, ,且数列 递减,所以当 时，数列 的最小值为 -1 , 故 D 项正确. 故选 BCD 项.
10. 当 时, ,因为 在 上单调递增, 所以 在 上单调递减,所以 在 上单调递减， 项正确；当 时， 与 的定义域为 R 矛盾, B 项错误; 若 的值域为 R,则 的值域包含 , ,令 ,即 的值域包含 ,当 时, 在区间 内单调递增,所以 ,不符合题意,当 时,由 ,得 或 ,所以当 时, 符合题意，C 项正确；当 时， 的定义域为 ,由 , 得 ,令 ,则 ,即 ,当 时, 在区间 内单调递增,且 , 所以 在区间 内无解,所以方程 无解, 项错误. 故选 AC 项.
11. 由题意得 为圆心; 所以 ,故 A 项 正 确. 联 立 解得 不妨令 ,所以 , 则 , 故 项正确. 当 时,点 横坐标 的取值范围是 ,由题意得 为 的焦点,所以 的准线方程为 ,设准线与直线 的交点为 ,如图所示:
由抛物线的定义可得 ,则 的周长为 ,所以 周长的取值范围是 ,故 项正确. 当 时, ,且 , 的面积 ,故 D 项错误. 故选 ABC 项.
三、填空题
12. 由题意得
13. 由题意得 ,因为 的最小正周期 ,所以 ,所以 . 又 ,解得 ,又 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 .
14. 由题意得方法总数为 . 若甲得 3 分, 乙得 1 分, 此时 8 只能对应 8 . 若甲得的 3 分是由 11,9,5 这 3 张牌所得, 则如下表所示:
甲 11 9 5 3 8
乙 2 13 8
高考模拟信息卷
3 对 13,5 对 2 是肯定的,11 和 9 对应的方法数有 种,此时共有 种不同的出牌方法; 若甲得的 3 分是由 11,9,3 这 3 张牌所得, 则如下表所示:
甲 11 9 3 5 8
乙 2 13 8
与上同理,此时共有 种不同的出牌方法. 综上,甲得 3 分,乙得 1 分,有 种不同的出牌方法,故所求概率为 .
四、解答题
15. 解:(1)由题意得 的分布列为
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0.4 0.3 0.2 0.075 0.025
(3 分)
所以
(5 分)
(2)由(1)得抽取 1 件产品测量长度为 50 cm 的概率为 0.4 ,
设至少有 1 件产品测量长度是 为事件 ,
则 , (7 分)
因为 0.64 不符合不小于 0.8 的要求,
所以该厂产品不可以上市销售.
设生产一件产品是标准长度为 的概率为 ,
由题意得 ,
又 ，解得 ，(11 分) 又 ,所以 ,
所以 ,
又 ,(12 分) 故该厂每生产 1000 件产品中至少有 553 件标准长度为 的产品才可上市销售. (13 分)
16.(1)证明:由 ，得 ,即 , (4 分)
又 , (5 分)
所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (6 分)
(2)解:由(1)得 ， (7 分)
所以 1) , (9 分)
所以 1) ,①
,②
①-②得 (14 分)
所以 . (15 分)
17. 解: (1) 设动点 ,
则 , (2 分)
因为 , (3 分)
化简得 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)设 ，直线 的方程为 ,
联立 得 (6 分)
由 ,得 , (8 分)
则 , (9 分)
且 (10 分)
由 ,得 (11 分)
即 (12 分)
因为点 在 上,
所以 ,(13 分) 即 ,
解得 或 ,
故 的取值范围为 , . (15 分)
18.(1)证明:因为三棱锥 为正三棱锥,
所以 为等边三角形, 为等腰三角形,
设 的中点为 ,连接 ,
所以 ,
又 平面 , 所以 平面 ,
又 平面 ,
所以 , (2 分)
因为 ,
所以 ,
又 平面 , 所以 平面 , (3 分)
又 平面 ,
所以 ,
又三棱锥 为正三棱锥,
所以 , (4 分)
所以 ，
又 ，且 平面 ， ,
所以 平面 ,
又 ,所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 . (5 分)
(2)解:由(1)得 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由 ,得 ,
则 , ,
则 .
(7 分)
设平面 的法向量为 ,
则 (8 分)
令 ,得 . (9 分)
设 ,
则 ,
则点 到平面 的距离
(10 分)
当 时, 取得最小值为 ,
故点 到平面 距离的最小值为 . (11 分)
(3)解:由题意得 ， (12 分)
(13 分)
则 , (14 分)
由 得 ，
若 ,则 ,即 ,(15 分) 又 ,
解得 或 ,
又 ,所以 ,
故存在 ,使得直线 ,且 . (17 分)
19.(1)解:由题意得 (1 分)
因为 的图象在 处的切线方程为 ,所以 则
解得 . (4 分)
(2)证明:由(1)得 ， 所以
因为 ,所以 , 当 时, ,当 时, ,所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
所以 有唯一的极小值为 .
(5 分)
方程 . 存在两个根分别为 ,不妨设 ,则 ,
要证 ,即证 ,
又 ,
即证 ,
又 ,
即证 . (6 分)
设 ,
则
(8 分)
设 ,
则 ,
设 ,
则 ,
当 时, 在区间 (0，1)内单调递增，
所以 ,
所以 在区间 内单调递增,
所以 ,所以当 时, (9 分)
又当 时, ,所以 ,
故 在区间 内单调递减,
所以 ,
所以 ,
所以 成立,
所以 . (10 分)
(3)解:由 ,得 恒成立.
设 , 由 ,得 . (11 分)
当 时,因为 ,所以 ,
所以 . (13 分)
设 ,
则
. (14 分)
设 ,
令 ; 得 ,
则 在区间 内单调递减,在区间 内单调递增,
所以 ,所以 ,
所以 ,
故 ,(16 分)
所以当 时, ,当 , 时, ,所以 在区间 ,
1) 内单调递减,在区间 内单调递增,
所以 ,
即 ,
故 .
综上, 的取值范围是 .

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