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蚌埠市 2026 届高三年级适应性考试 数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知复数 ，则 的虚部为
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2. 已知集合 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 ,实数 满足 ,则 的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 二项式 展开式中的常数项是
A. 15 B. 30 C. 240 D. 480
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 二维码又称二维条码, 通常根据某种特定的几何图形和规律, 在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式. 某二维码生成器可以生成 (即 625 个点) 大小的二维码,若 “黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 2 种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码,1 万年约为 秒,那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用
A. 172 万年 B. 260 万年 C. 万年 D. 万年
8. 已知正方体 中， 是 的中点，则平面 与平面 的夹角值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
第 9 题图
9. 已知函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 将 图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,则 为偶函数
10. 已知数列 的前 项和为 ,满足 . 若 ,则
A. B. 数列 是等差数列
C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项
11. 已知 为坐标原点,椭圆 的焦点分别为 ,且离心率 为 上一动点,过 作 的切线 ,过 分别作 的垂线,垂足分别为 . 则
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 数据:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 的第 75 百分位数为_____.
第 14 题图
13. 直线 是曲线 的切线，则 _____.
14. 平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的. 方格纸上两条直线的交点称为格点. 右图每个小正方形的边长为 1 , 假设方格纸足够大, 已知一只蚂蚁从格点 出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为 1,则蚂蚁移动 6 次回到出发点 的不同方法总数为_____(用数字作答).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最大值.
16. (15 分)
在五棱锥 中， ，底面五边形 中， ,
第 16 题图
(1)求证: ；
(2)若 ，求 与 所成角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)记 .
当 时,证明: .
18. (17 分)
已知抛物线 的焦点为 ，过点 作一条直线交抛物线于 ， 两点，过 ， 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ， 为坐标原点.
(1)记 的斜率分别为 ，求 ；
(2)求证: 三点共线；
(3)记 的面积分别为 ，求证: .
19. (17 分)
某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则:先确定挑战权，挑战权属于某队时, 该队可挑战另外两队中的一队, 且被挑战的队伍获得下一次的挑战权. 已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为 0.5 , 高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为 0.4,0.6 ,高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为 0.4,0.6 . 经商定,高一篮球队获得首次挑战权.
(1)经过 3 次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为 ，求 的分布列及数学期望；
(2)若经过 次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件 .
(i) 证明: ;
(ii) 证明: 当 为偶数时, .
蚌埠市 2026 届高三年级适应性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B A B D C A C D
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题 号 9 10 11
答 案 AB ACD BCD
三、填空题:每小题 5 分，共 15 分。
12. 21 13. 1
四、解答题:
15. (13 分)
解: (1) 由 ,
得 ,
在 中，由正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，
即 , 3 分
,得 ,
又 ,所以 . 5 分
(2)在 中，由余弦定理， ，化简得 ， 8 分
所以 ,即 ,当且仅当 “ ” 时等号成立, 11 分
从而 ,即 周长的最大值为 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 连 ,取 中点 ,连 ,由 , 知 , 3 分
又 平面 ,因此 平面 .
又 平面 ,故 . 5 分
在底面 内, ,因此 , 又 ,因此四边形 为矩形,因此 , 故 . 8 分
(2)(方法一)由(1)知， ，
在 中，由余弦定理，
，
所以 ，易知 ，故 ， 12 分
为直线 与直线 所成角,
在 中, ,
所以 与 所成角的余弦值为 . 15 分
(方法二)连接 ,设 相交于点 ,连 ,
则 为 中点,
由 ,知 ,同理 ,
底面 ,
因此 底面 . 9 分
取 中点为 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图的空间直角坐标系.
易知 ,
11 分
则 ,
13 分
设直线 与直线 所成角为 ,
则 . 15 分
17. (15 分)
解: (1) 依题意,有 . 2 分
令 ,得 ,
令 ,得 . 4 分
因此, 单调递增区间为 ,
单调递减区间为 . 8 分
(2)易知 ,记 .
由题意知 , 10 分
从而 . 12 分
因此, 在区间 上单调递减, .
当 时, . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 设 ,直线 的方程为 ,与抛物线方程联立有
消去 并化简得 .
则 , 2 分
因此, . 5 分
(2)由(1)，依题意，知 ，要证 三点共线，只需证 . 即证 ,即证 . 而 成立, 故 三点共线. 9 分
(3)记 ，由 (2) 同理知 三点共线，且 .
11 分
14 分
17 分
蚌埠市高三年级数学参考答案第3页(共4 页)
19. (17 分)
解: (1) 的可能取值为 1 和 2,且
3 分
则 的分布列为
1 2
0.36 0.64
则 的数学期望为 . 5 分
(2)(i) ，①
,② 7 分
作差, 得
又 ,因此 ,
因此 . 10 分
(ii) ,③
①+②，得 ，
由③知 ,
又 , 12 分
从而有 ,
则有 是以 为首项, 为公比的等比数列, 15 分
因此, .
当 为偶数时, ,因此 . 17 分

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