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数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 是自然数集, ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 2 B.2 C. D. 1
3. 已知不等式 的解集为 或 ，则实数 的值为
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知 ,则
A. B. C. D. 2
5. 已知正项等比数列 单调递增, 是其前 项和, ,则
A. B. C. D.
6. 若 ，将 的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到 的图象,则 在区间 的最大值是
A. B. 1
C. D.
7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为 ，戴墨镜的概率为 ,每天穿戴的情况独立, 表示他在 20 天的游玩时间中只戴帽子的天数,则其期望
A. 4 天 B. 8 天 C. 10 天 D.
8. 如图 1 所示，二面角 为 ， 是边长为 2 的正三角形，若 是三棱锥 外接球的直径,则
图 1
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题 (本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 是等差数列 的前 项和, 为公差,且 ,则下列说法正确的是
A. B. 当 时, 取最小值
C. D.
10. 已知 是定义在 上的函数,对任意 ,满足 ,若 时, ,则下列说法正确的是
A. 是奇函数
B.
C.
D. 在区间 上, 有 2027 个零点
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,过 的直线与双曲线的左、 右两支分别交于 两点, 两点均在 轴上方, ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则双曲线 的渐近线方程为
C. 若 是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是
D. 若 是钝角三角形,直线 的斜率分别是 ,则 的最小值是 -1
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 是函数 的极值点,则
13. 已知向量 ，若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标是_____
14. 已知直线 与抛物线 交于 两点, 两点均在 轴上方, 为抛物线的焦点, 若 ,且 是锐角,则直线 的斜率的取值范围是_____
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
在 中，内角 满足 .
(1)求 ；
(2)若 为 边上一点， ， ， ，求 的面积.
16.(本小题满分 15 分)
2026 年春节期间, 电影《飞驰人生 3》、《镖人》持续火爆, 现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表:(由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准).
日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六
上映第 天 1 2 3 4 5 6
票房 y(单位:亿元) 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6
(1)根据数据建立单日票房 关于上映天数 的线性回归方程，并预测第七日的票房收入(计算结果均保留一位小数)；
(2)在某天放映结束后，随机抽取 6 名观众，发现其中有 4 人看过《镖人》，3 人看过《飞驰人生 3》，只有 1 人两部电影均没看过. 现从这 6 人中随机抽取 3 人，记 为抽取的 3 人中两部电影都看过的人数,求 的分布列及数学期望.
参考数据: .
参考公式: .
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 过点 ，且与椭圆 相交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值及此时 的方程.
18. (本小题满分 17 分)
如图 2,已知立方体 的棱长为 1,点 是棱 上一动点.
(1)当 为 中点时， 为线段 上一点， ，求证: 面 ；
(2)当 在 上运动(不包括端点)时，线段 上是否存在点 ，使得 面 ，若存在,请问点 在平面 内的轨迹是什么曲线 若不存在,请说明理由;
(3)当 在 上运动(包括端点)时形成一系列点列 ，其中 与 重合， 是线段 的中点， 是四棱锥 的内切球半径，求证: .
图 2
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 在 上的单调区间；
(3)若 ，且 ，满足 ，求证: .
(参考数据: )
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D B A D
1. ,故选 B.
2. ,故选 C.
3. ,是方程 的根,所以 ,故选 C.
4. ,所以 ,故选 A.
5. 舍去 ,所以 ,故选 D.
6. ,所以 , 的最大值为 1,故选 B.
7. 记 为事件 “小明戴帽子”,记 为事件 “小明戴墨镜”, ,所以 , 天,故选 A.
8. 如图 1,令 的中点为 ,连接 ,并延长至 ,使得 ，此时 为 的外接圆直径，连接 ， ， 易得, ,由余弦定理得, ，故选 D.
图 1
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
9. , A 正确; ,所以 ,所以, 最小, 错误; 所以 错误, 正确,故选 AD.
10. ,所以其对称中心为 ,所以 为对称中心，所以 正确； ，所以 B 正确; 由对称性知 , C 错误; 单调递增, , ,存在唯一的 ,使得 时, 单减, , 单增, ,所以在 上 没有零点,所以仅 是 的零点，所以 D 正确，故选 ABD.
11. 令 ,则 是等腰直角三角形,所以, ,所以 ,所以选项 错误; 在 中,由余弦定理得, ,得 ,渐近线方程为 ,所以选项 正确; 若 是钝角三角形, 必有 ,在 中, 通径 ,所以 ,双曲线离心率的取值范围是 ,所以选项 C 正确; 令直线 的倾斜角分别是 , ,则 ,即 , 所以 ,所以由 ,得 , 所以 ,当 时取等号,所以选项 D 正确,故选 BCD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 2 (1,0)
12. ,即 .
13. ,所以 ,数形结合知投影向量为 .
14. 过 作 垂直准线于 ,过 作 垂直准线于 ,过 作 于点 ,令 ,则 ,所以 ,所以范围为 .
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解: (1)
,
所以, . (6 分)
(2) ，所以 ，
(10 分)
所以, ,
所以面积 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解:(1)因为 ，
所以 , (3 分)
,
所以回归方程为: ,当 时, 亿元,
正月初七，预计《镖人》的票房为 1.7 亿元. (7 分)
(2)由题意可知，6 人中同时看过两部电影的只有两人，所以 的可能取值为 0,1,2, 则 ,
(13 分)
所以 的分布列为:
0 1 2
1 5 3 5 1 5
. (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) ,
,所以椭圆方程为 . (5 分)
(2)设直线 为 ，
联立得, ,
,
(7 分)
(12 分) 当 时, 取最大值 ,即此时 的方程为 .
(15 分)
图 2
18. (本小题满分 17 分)
(1)证明:以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图 2 所示的坐标系, ,
所以 ,即 ,
,即 ,
平面 ,所以 面 . (4 分)
(2)解:存在点 使得 面 ，且点 在平面 内的轨迹是抛物线的一部分.
令 ,令面 的法向量为 , ,所以 ,
令 ,
(7 分)
图 3
(11 分)
在平面 建立如图 3 所示的坐标系,
令 ,
所以 ,得点 的轨迹方程为 , 所以点 在平面 内的轨迹是抛物线的一部分.
(3)证明:记 为四棱锥 的表面积， ，所以
,
所以 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1) 解: , 所以切线方程为 . (3 分)
(2)解:设 ，
令 ,
所以 时, 单减, 时, 单增, ,
所以当 单减,当 单增,
所以 ,即 ,
故 的增区间为 ,无减区间. (8 分)
(3)证明:由(1)，(2)知， ， 单增，
若 ,必有 ,
若 ,必有 ,
若 ,必有 ,矛盾,
所以不妨令 ,
(13 分)
所以 单调递增, ,
单减,
所以, ,
所以, ,即 ,原不等式成立. (17 分)

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