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高 2026 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试卷
(考试时间 120 分钟，满分 150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡指定位置上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则
A. B. C. D.
2. 已知全集 均为 的子集，且 ，则
A. B. C. D.
3. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9
4. 已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ,则
A. 1 B. C. 2 D.
5. 已知双曲线 ,设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合 ,从 中任取三个不同的点记为 ,若 为直角三角形,则该双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
6. 若 的展开式中 的系数为 80,则正整数 的值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7. 已知 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递减; 是定义在 上的奇函数, 且在 上单调递增. 设 , . 则
A. B. C. D.
8. 某科技公司研发人工智能大模型, 训练该模型每月消耗的算力 (单位: 千PFLOPS 天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第 4 个月消耗的算力为 4 ，第 3 个月与第 5 个月消耗的算力之和为 10 . 则
A. 第 3 个月消耗的算力为 1
B. 前 5 个月消耗的总算力为 16
C. 第 7 个月消耗的算力比第 4 个月增长 300%
D. 前 8 个月消耗的总算力与第 4 个月消耗的算力比值为
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球, 采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次 摸到红球”,事件 为“第二次摸到红球”,则
A. B. C. D. 与 相互独立
10. 函数 的部分图象如图所示,则
第 10 题图
A.
B.
C. 的图象关于点 对称
D. 方程 在 上有 3 个解
11. 已知函数 ,则
A. 存在 ,使得 在 上是单调函数
B. 若 有三个不同的零点,则
C. 当 时,过原点且与曲线 相切的直线恰有一条
D. 若 恰有 9 个不同的实数根,则 的取值范围关于原点对称
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线 的斜率为_____.
13. 将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起,使折起后 ,则二面角 的大小为_____.
14. 两位同学在讨论函数 的特征.
甲认为: 取最大值时的 取值只与 有关,与 的符号无关.
乙认为: 取最大值时的 取值不仅与 有关,还与 的符号有关.
(1)你认为更合理的说法是_____(填“甲”或“乙”)；
(2)若 的图象关于直线 对称，则 与 之间的关系式为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
2026 年 3 月，某市“山城邻里”社区团购平台在市中心商业区设立户外直播间，推广本地特产晚熟春橙. 该社区团购平台共进行了 5 场户外直播销售，相应的直播时长与销售额数据经财务与运营双岗复核如下:
场次 1 2 3 4 5
时长 (小时) 1 2 3 4 5
销售额 (万元) 3.0 5.0 7.0 10.0 12.0
(1)求销售额 关于直播时长 的经验回归方程 ；
(2)从这 5 场直播中随机抽取 2 场复盘，记“销售额超过 7 万元”的场数为 ，求 的分布列与数学期望.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
16.(15分)
设函数 .
(1)化简 ，并判断 在区间 上的单调性；
(2)设 为钝角三角形，角 的对边分别为 ，若 ， ,求 .
17. (15 分)
已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点,与 交于 两点, 其中 在第一象限.
(1)求圆 的方程；
(2)是否存在 使 若存在，求出 ；若不存在，说明理由。
18.(17分)
已知函数 ,记 .
(1)讨论 和 的单调性；
(2)当 时,比较 与 的大小，并说明理由；
(3)设数列 满足 .
证明: .
19. (17 分)
如图，已知六面体 中，点 与点 在平面 的两侧，且 是边长为 的正三角形.
第 19 题图
(1)求证: 平面 ；
(2)空间一点 满足 . 点 分别在棱 上运动,且 的面积为 .
(i) 求 的最小值;
(ii) 若 是 (i) 中使 取得最小值时的位置,且点 在六面体 的表面上,求四面体 体积的最大值.
高 2026 届学业质量调研抽测(第二次) 数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1-4: AADD 5-8: ABCD
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BC 10. AC 11. BCD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13.
14. 乙; (第一空 2 分,第二空 3 分)
四、解答题: 共 77 分.
15. 解:
(1)(1) ， 2 分
4 分
6 分
故经验回归方程为 . 7 分
(2)销售额超过 7 万元的场次为第4、5场， 取值为0,1,2:
分布列:
0 1 2
3 5
13 分
16. 解:
(1) 由 得 . 2 分 4 分 6 分当 时, .
故 在 上单调递增. 8 分
(2)由 得 ，解得 .
因为 ,所以 或 .
在 中, ,所以 . 又因为 为钝角三角形,故 .
11 分
由正弦定理 ，可得 . 所以 或 .
若 ,则 ,为直角三角形,舍去.
若 ,则 ,符合.
又由正弦定理: ,可得 .
综上, 的值为 1 . 15 分
17. 解:
(1)由题意得，焦点 . 2 分当 时,代入 得 ,故半径 , 4 分从而圆 的方程为 . 5 分
(2)联立 与 ,消 得 .
设 ,则 8 分
由 ,得 ,从而
. 11 分
又 ,从而 .
所以 ,方程无解. 14 分
故不存在正数 使 . 15 分
18. 解:
(1) .
所以 在 上单调递减. 2 分
4 分
当 时, ,且 ,
故 ,所以 在 上单调递增. 6 分
(2)由(1)知 在 上单调递增.
当 时, ,即 ,所以 .
当 时, ,即 ,所以 . 10 分
(3)由(1)知， 在 上单调递减.
当 时, ; 当 时, .
由(2)中结论两边取以 2 为底的对数,
当 时, ;
当 时, .
所以 且 时, . 13 分
由 得, 且 .
故 .
当 时, .
16 分
从而 .
当 时, .
综上, . 17 分
19. 证明:
(1)在 中， ， ，
由 得 ,故 .
取 中点 ,连接 ,则 . 2 分
在 中,同理可得 .
又 ,所以 平面 ,从而 . 3 分同理可得 .
又 ,因此 平面 . 5 分
(2)(i)以 为原点， 分别为 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 则 . 设 ,由 得 . 故 在球心 ,半径 的球面上. 7 分
设 ,又 ,故由
得 .
在 中,由余弦定理:
将平面 沿 展开到与平面 共面.
则
.
当 ,即 时取得最小值 ,此时 ,且 .
11 分
(ii) 由 (i) 可得, . 从而 . 设平面 的法向量 . 由 ,可得 .
又 ,故 .
由题意知, 的轨迹为 和 内的两段半圆弧. 14 分
(注: 考生在解答中得出此结论可得分; 详细证明附后, 供参考。)
当 在平面 上时,设 . 则
故 到平面 的距离
,当 时等号
成立. 15 分
当 在平面 上时,设 .
则 .
故 到平面 的距离
.
16 分
所以，四面体 体积的 ，即最大值为 . 17 分
附:因为 为 中点， 在以 为圆心 为半径的球上， 到平面 距离为 ,所以 不在平面 上.
记 为 在平面 上的投影， 为 内任意一点， 为 在平面 上的投影. 则 在 内,连接 于 . 从而 不在 内(不含边界).
同理,可得 不在 内 (不含边界).
平面 的法向量 ，故 到平面 的距离 . 从而 不在平面 上.
因此, 的轨迹为 和 内的两段半圆弧.

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