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海口市 2026 届高三年级仿真考试 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 下列函数中,图象关于原点对称且在 单调递增的是
A. B. C. D.
4. 直线 与圆 相切,则实数
A. 1 B. C. D. 2
5. 的展开式中 的系数是
A. 35 B. -35 C. 21 D. -21
6. 已知函数 在 上恰有三个极值点,则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知函数 定义域为 ,下列是 无最小值的充分条件的是
A. 为偶函数且图象关于直线 对称
B. 为偶函数且图象关于点 对称
C. 为奇函数且图象关于直线 对称
D. 为奇函数且图象关于点 对称
8. 如图， 为圆锥 的底面圆 的直径， ， ， 为 的中点，点 是圆 上的动点 (点 、 在直径 同侧),当 的面积最大时,点 到平面 距离为
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 在等边三角形 中,点 是边 的中点,则
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是
A. 若事件 与事件 互斥,则
B. 若事件 与事件 满足 ,则
C. 样本数据1,2,4,7,8,10,17,18,26,30的下四分位数是 4
D. 若 关于 的线性回归方程为 ,则样本点 的残差为 0.1
11. 已知函数 ,则
A. ,不等式 恒成立
B. ,函数 的图象恒过定点
C. ,使得 在区间 上单调递增
D. ,若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 分别为 三个内角 的对边, , 则 _____.
13. 等比数列 的各项均为正数,其前 项和为 ,且 成等差数列,则数列 的公比为_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上，若四边形 为等腰梯形且 ，则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求 .
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， ,点 是线段 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求四棱锥 外接球的表面积.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 在 恒成立，求 的取值范围.
18. (17分)
已知椭圆 经过 和 两点， ， 分别为椭圆 上、下顶点，点 在椭圆 上运动 不重合),点 满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求动点 的轨迹 的方程；
(3)若 ，不过原点且斜率为 的直线 与曲线 交于 、 两点，直线 分别与 轴交于点 (直线 斜率大于 0).
( i ) 求证: 直线 的斜率之和为 0 ;
(ii) 线段 的中点为 ,求 的最小值.
19. (17 分)
某公司现有 台电子设备,每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为 ,假设每台电子设备是否被入侵之间相互独立，用随机变量 表示该公司遭遇网络攻击后被入侵的电子设备数,且 .
(1)求 ；
(2)该公司研发了一款针对网络攻击的防护软件，安装该防护软件后，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为 ,经研究发现概率 与某参数 有关，依据经验,某团队提出函数模型 . 现将 台电子设备平均分为 8 组,进行测试, 随机变量 表示第 组被成功入侵的电子设备数,将随机变量 的测试结果 绘制成条形图,记事件 “ ” .
(i) 求 ; (用 表示，组合数不必计算)
(ii) 若 时, 最大,则称 是 的最大似然估计. 请判断该函数模型是否存在 的最大似然估计,若存在,则求出 ,若不存在,说明理由.
海口市 2026 届高三年级仿真考试 数学试题参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D D B B D A
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ACD BC BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 9 13. 2 14.
8. 解:
如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间之角坐标系,由题易知 ，所以当 时， 最大，此时 ， ，
,设平面 法向量为 , 则有 ,取 ,点 到平面 的距离为
11. A. ,当 时,易证 单调递减。
B. 图象恒过定点 。
C. ,要使得 在区间 上单调递增,则 在 恒成立,即 对 恒成立,令 易证。
D. 若 ,则 ,构造 ,由 得 所以 。
14. 不妨设 ,连接 ,易知 ,所以 , ,所以 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 解: (I) 由题知, -1 分
当 时, -3 分
当 时, -4 分
所以得 -5 分
(2)由(1)，得 ， -7 分
-11 分
-13 分
(评分说明: 第二问将 将每项直接计算出来,最终结果正确也给满分)
16. (15分)解:(1)证明:因为 为 中点，所以 ， -1 分因为 底面 平面 ,所以 , -2 分
又 平面 ,所以 平面 , -3 分因为 平面 ,所以 , 4 分
又因为 平面 ,
所以 平面 , -6 分
(2)方法一:如图，分别以 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ,则 , -7 分
则 ,设平面 一个法向量为 , 则 ,得 ,得 , -9 分
平面 一个法向量为 , -10 分
由已知 为的正弦值为 得 -11 分
解得: -12 分
底面 为正方形， 底面 ，所以四棱锥 的外接球与棱长为 4 正方体外接球半径相等,所以其外接球直径为 ,半径为 , -14 分
所以四棱锥 外接球的表面积为 . -15 分
方法二: 取 的中点 ,连接 ,过 作 ,连接 .
因为 分别是 的中点,所以 ,所以 平面 , -7 分
又 平面 ,所以 ,又因为 , 平面 ,所以 平面 ,所以 - -8 分所以 就是二面角 的平面角, -9 分
即 ,所以 ,又 ,得 , -11 分
中， ，所以 ， -12 分
底面 为正方形， 底面 ，所以四棱锥 的外接球与棱长为 4 正方体外接球半径相等,所以其外接球直径为 ,半径为 , 14 分
所以四棱锥 外接球的表面积为 -15 分
17. (15 分) 解: (1) 由题, ,得 -1 分
令 ,得 -2 分
当 时, ,当 时, 4 分
所以,函数 的单调减区间为 ,单调增区间为 -6 分
(2)由 ，即
当 时，原式等价于， -8 分
令 ,所以 -10 分
当 时, ,所以
在 单调递增,所以 , -12 分
即 ,所以 , -14 分
所以 的取值范围为 -15 分
18.(17分)(1)设椭圆 的方程为: ， -1 分代入两点坐标得 _____2 分 解得 -3 分
椭圆 的标准方程为: -4 分
(2)由1)知: ， ，设 ，
-5 分
因为
所以 -6 分
即 解得: , -8 分
点 在椭圆 上，得轨迹 的方程为 -9 分
(3) (i) 设直线 -10 分
联立方程 消 得: -11 分
韦达定理得: -12 分
直线 的斜率之和
分子:
14 分
(ii) 得 ,设 ,则
由 ,得
即 -15 分
-16 分
当且仅当 ,即 时,“ ” 成立
此时 都在椭圆 的内部,直线 与椭圆有两个交点。
所以 的最小值为 。 -17 分
19. (17 分)
解: (1) 由条件知: ,所以 1 分
因为 ,所以 -3 分
-5 分
(2)(i)由(1)知: ，所以每组有 10 台设备 -6 分
-10 分
(ii) 令
-12 分
则
当 在 单调递增
当 在 单调递减
所以, 时, 取到最大值,即 取到最大值 -15 分
该团队模型: ,令
显然, 单调递增,令 ,解得
所以该团队的函数模型最大似然估计为 -17 分

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