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2026 届高三 4 月教学质量检测 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ,集合 ,则 的真子集个数为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知复数 满足 是 的共轭复数,则 的虚部为
A. B. C. D.
3. 若函数 的最小正周期为 ,则
A. 2 B. C. 1 D. 0
4. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ 与 的夹角为锐角” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 是 中的唯一最大项,则 的取值范围为
A. B. C. D.
6. 如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 . 设时针长为 1, 若某时刻时针指向 9 点到 12 点之间,且针尖所在点的纵坐标为 ,则在经过 4 小时后, 时针针尖所在点的横坐标为
A. B. C. D.
7. 已知定义域为 的函数 满足 为偶函数, 为奇函数,则
A. B. 1 C. D.
8. 不全为 0 的实数对 满足关系式 ,则这样的实数对 共有( )组.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题:本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知两组样本数据 和 ,其中 是 的中位数,则这两组样本数据的
A. 极差不相等 B. 中位数一定相等
C. 平均数一定相等 D. 标准差可能相等
10. 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面边长为 ，且 ，则下列说法正确的有
A. 该四棱台的体积为 14
B. 侧棱 与底面夹角的正切值为
C. 若 为 的中点，则 平面
D. 该四棱台的外接球表面积为
11. 已知曲线 ,下列结论正确的是
A. 曲线 与 轴的交点的横坐标之和等于 0
B. 曲线 关于直线 对称
C. 若直线 与曲线 恰有 3 个交点,则
D. 直线 与曲线 的交点的横坐标之和等于 0
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则双曲线 的离心率为_____.
13. 若直线 与曲线 相切，则实数 的值为_____.
14. 装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长 10 格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同， 每块红色地砖长 1 格，每块黄色地砖长 2 格，每块绿色地砖长 3 格，地砖只能整块铺设，且 3 种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分. 已知装修师傅共使用了 6 块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻 2 块地砖的颜色不同，则共有_____种不同的铺设方法.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明:
(2)求 的取值范围.
16.(15分)
如图,四边形 为直角梯形,且 . 点 满足 平面 .
(1)若 为 上靠近点 的三等分点,证明: 平面 ；
(2)若 ，点 满足 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
17. (15分)
已知甲手里有 3 张卡片分别标有数字 1,3,5 , 同样乙手里也有 3 张卡片分别标有数字 2,4,6, 若在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张 (不放回), 并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得 1 分，数字小的一方得 0 分，两人共进行三轮比赛.
(1)求第一轮甲获胜的概率；
(2)在第一轮甲获胜的条件下, 第二轮甲获胜的概率;
(3)三轮比赛结束, 求甲的总得分的期望.
18. (17分)
如图，在平面直角坐标系中，曲线 ，点 ，直线 与 轴交于点 ，同时与曲线 交于点 ，点 ， 分别是曲线 与线段 上的动点.
(1)求 的值；
(2)若直线 与 轴垂直，且 ，求点 的坐标；
(3)若 为曲线 上一点，是否存在点 使得四边形 是以 ， 为邻边的矩形，若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知函数 ( 为常数， 为自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)证明:当 时， ；
(3)证明: 当 时, .
2026 届高三 4 月教学质量检测 数学 参考答案、解析及评分细则
1. C 由题意 ,集合 ,则 . 则 的真子集个数为 . 故选 C.
2. D 由复数 满足 ，可得 ，虚部为 . 故选 D.
3. 因为 的最小正周期为 ,所以 ,即 ,所以 . 故选 B.
4. C 因 ,则 ,由 与 的夹角为锐角,可得 解得 且 ,则 “ ” 是 “ 与 的夹角为锐角” 的必要不充分条件. 故选 C.
5. A 因为 是 中的唯一最大项,所以 且 ,即 且 ,又 ,解得 ,即 的取值范围为 . 故选 A.
6.B 由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为 点，且在单位圆上，如图所示: 点的纵坐标为 ,设 轴,垂足为 ,单位圆交横轴正半轴于点 ,设在经过 4 小时后,时针针尖所在点的坐标为 ,则 ,在直角三角形 中, ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以点 在第一象限内,设 ，则点 坐标为 ，设点 ，由 ，或 舍去,设 ，则 ，所以 . 故选 A.
7. 因为 是偶函数, ,所以 ,即 ①,因为 是奇函数,所以 ,所以 ,即 ②,①+②, 并整理得 . 故选 C.
8. 由 可得 ,即点 与点 到直线 的距离都为 1,分别以 为圆心,作半径为 1 的圆 、圆 ,由 ,故两圆外离,则两圆共四条公切线,由图可得,两圆公切线都不过原点,故有 4 组这样的实数对 ,使得点 与点 到直线 的距离都为 1 . 故选 D.
9. BD 不妨设 ,则 ,新数据 按升序排列可得 , ,对于选项 A: 两组数据的极差均为 ,即极差相等,故 A 错误; 对于选项 B: 两组数据的中位数均为 ,即中位数相等,故 正确; 对于选项 : 例如 ,则 , 平均数为 ,新数据0,2,3,4,10的平均数为 ,显然 ,所以平均数不相等,故 错误; 对于选项 : 例如 ,则 ,显然其标准差为 0,新数据0,0,0,0,0的标准差也为 0 , 两者相等, 故 D 正确. 故选 BD.
10. ACD 设棱台的上下底面中心分别为 ,对于 A 选项,因为正方形 的边长为 ,正方形 的边长为 ,所以 ,台体的高为 ,由台体体积公式可知,该正四棱台的体积为 , A 对; 对于 选项,侧棱 与底面夹角的正切值为 , B 错; 对于 选项,当点 为 的中点时,易知 为 的中点,所以 ,因为 平面 平面 ,故 平面 对; 对于 选项,易知该正四棱台外接球球心 在直线 上,设球 的半径为 ,设点 ,则 ,由 可得 ,解得 ,故 ，因此，该四棱台的外接球表面积为 ，D 对. 故选 ACD.
11. 对于 ,令 ,则 ,解得: 或 ,或 ,则曲线 与 轴的交点的横坐标之和等于 0,故 A 正确; 对于 B,设点 在曲线上,则 ,若曲线 关于直线 对称,则对称点 应满足: 展开左边: 与原方程 不相等，故 错误；对于 ,令 ，求导得 ，令 0,解得: 或 ,令 ,解得 ,所以 的单调增区间为 , 单调减区间为 ,当 时, ; 当 时, , 所以 的极大值为 2,极小值为 -2,直线 与曲线 交点个数等价于方程 的解的个数,等价于 与 的交点个数,要使直线 与曲线恰有 3 个交点,需 在 内,即 ,解不等式: ,恒成立; , 2),所以直线 与曲线 恰有 3 个交点,则 ,故 正确; 对于 ,直线 代入方程: ,整理得 ,设方程的三个根为 ,根据三次方程韦达定理: ,所以直线 与曲线 的交点的横坐标之和等于 0,故 正确. 故选 ACD.
12. 由题意得 ,故 .
13. 5 设直线 与曲线 相切于点 ,由 ,所以 ,整理得 ,解得 或 (舍去),所以 .
14.10 设使用红色地砖 块,黄色地砖 块,绿色地砖 块,由题意得 ,解得 为红色地砖使用在
第1,3,5块地砖的位置时,1 块绿色地砖有 种方式铺设,剩余 2 个位置铺设黄色地砖,所以共有 3 种不同的铺设方法; ②3 块红色地砖使用在第2,4,6块地砖的位置时,1 块绿色地砖有 种方式铺设,剩余 2 个位置铺设黄色地砖,所以共有 3 种不同的铺设方法; ③3 块红色地砖使用在第1,3,6块地砖的位置时,1 块绿色地砖只能在第 4,5 块地砖的位置铺设,有 种方法,剩余 2 个位置铺设黄色地砖,所以共有 2 种不同的铺设方法; ④3 块红色地砖使用在第1,4,6块地砖的位置时,1 块绿色地砖只能在第2,3块地砖的位置铺设,有 种方法,剩余 2 个位置铺设黄色地砖,所以共有 2 种不同的铺设方法. 综上,共有 种不同的铺设方法.
15. 解: (1) 证明: 因为 , 2 分
所以由题得 ,即 , 3 分
由余弦定理可得 ,所以 . 5 分
即 . 6 分
(2)由(1)知 ，所以 ， 7 分
所以 , 10 分
当且仅当 即 时等号成立, 11 分
所以 的最小值为 , 12 分
即 的取值范围为 . 13 分
16. 解: (1) 如图,设 与 交于点 ,连接 ,
，
为 上靠近点 的三等分点, 2 分
为 上靠近点 的三等分点, 在 中, , 4 分
平面 平面 平面 . 6 分 (2) ，
平面 ,则以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
, 8 分从而 ,
,
点 的坐标为 . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
则 即
则 ,令 ,可得 ,
平面 的一个法向量为 , 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 , 14 分
. 15 分
17. 解:(1)根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，
所有可能组合有 种:
, 2 分甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字,有 3 种,所以甲获胜的概率为 . 4 分
(2)设“第一轮甲获胜”为事件 ，“第二轮甲获胜”为事件 ，
由上可知第一轮甲获胜的概率为 , 5 分
第一轮甲获胜且第二轮甲获胜的概率
, 7 分
根据条件概率公式 . 9 分
(3)设甲总得分为 ,则 的可能取值为0,1,2,在不考虑出牌顺序的前提下，
第一行为甲出牌,其余为乙出牌,如下表,
甲得分 1 3 5
0 2 4 6
1 2 6 4
1 4 2 6
1 4 6 2
2 6 2 4
1 6 4 2
甲、乙两人出牌共有 36 种, 11 分
则 , 13 分
则 . 15 分
18. 解: (1) 依题意可得: 曲线 的焦点为 ,准线为 , 2 分
且 ,由抛物线的定义可知 . 4 分
(2)此时设 ，其中 ，则 ， 5 分
.
由 得 , 7 分
再结合 ,解得 (负值已舍去), 9 分
所以 . 10 分
(3)设 ，其中 ①，则 .
在矩形 中, ,故 ,
所以直线 的解析式为 ,
令 ,可得 ,即 . 12 分
由对角线互相平分可得,此时
即点 坐标为 . 14 分
当点 在曲线 上时,代入曲线 的解析式得 ,
即 ②. 15 分
联立① ②两式消去 得 ,
解得 或 (舍去),
所以 (负值已舍去),故存在点 满足题意. 17 分
19. 解: (1) 由 ,得 .
又 ,所以 , 2 分
所以 .
由 ,得 .
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 5 分
(2)由(1)知 , 6 分
所以 ,即 . 7 分
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,即 . 10 分
(3)首先证明:当 时，恒有 .
证明如下: 令 ,则 .
由 (2) 知,当 时, ,所以 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,所以 . 所以 ,即 . 12 分
依次取 ,代入上式,
则 .
以上各式相加,有 . 14 分
所以 ,
所以 ,
即 . 16 分
即可证明: 当 时, . 17 分

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