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2026 年全国高考冲刺压轴卷(四) 数 学
注意事项:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知复数 ,则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则
A. B. 7
C. D. -7
4. 某小型话剧表演结束后 6 名演员(含甲、乙)排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有
A. 360 B. 480 C. 504 D. 720
5. 已知函数 的最小正周期为 ,若 ,且 ,则 的最小值是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 ,则不等式 的解集是
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 点 是 上一点,直线 的斜率为 3,直线 的斜率为 ,则 的离心率是
A. B. C. D.
8. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某精密仪器车间有一个圆柱形原料, 现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件, 其尺寸如图所示,则
A. 圆柱形原料的表面积为
B. 圆柱形原料的体积为
C. 圆锥形零件的表面积为
D. 圆锥形零件的体积为
10. 在 中, ,则
A. B. 若 是 的中线,则
C. 若 是 的高，则 D. 若 是 的角平分线,则
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点(点 在第一象限), 为坐标原点,过点 分别作 的准线的垂线,垂足分别为 ,且 与 的面积之比为 ,则
A. 若 ,则
B. 若 ,则 的倾斜角为
C. 若 且 的面积为 ，则
D. 若 ，则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 ,若 ,则实数 _____.
13. 已知 是等比数列 的前 项和,若 ,则 _____.
14. 现一次性抛掷 颗质地均匀的正方体骰子 (每颗骰子的点数都是1,2,3,4,5,6),这 颗骰子的点数中,最小点数记为随机变量 . 若 的数学期望不大于 ,则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市 1000 名市民进行调查，得到如下 列联表
低于 40 岁 不低于 40 岁 总计
选择飞机出行 100
选择高铁出行 300
总计 500 1000
(1)补全表中数据，依据小概率值 的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联
(2)调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从 7:00 开始，每小时作为一个时间段 (7:00~8:00 为第 1 个时间段,8:00~9:00 为第 2 个时间段,……),得到如下数据:
时间段 1 2 3 4 5
客流量 (千人) 1 1.5 2.5 3 3.5
若 与 线性相关,建立每个时间段客流量 与时间段 的经验回归方程,并预测 12:00~13:00 的客流量.
附: ，其中 .
0.010 0.001
6.635 10.828
对于一组数据 ,其经验回归方程 的斜率
16.(本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 的底面 是矩形， 平面 ，点 是棱 上的动点， 点 是棱 上的一点，且 .
(1)求证: ；
(2)若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知 是数列 的前 项和, ,数列 是公差为 的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点 ，且 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: .
19. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，点 是 上一点，过点 向 的两条渐近线作垂线,垂足分别为 ,且 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 的左支上异于点 的一点，直线 交直线 于点 ，直线 交 于另一点 .
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证: 为定值；
(1)求坐标原点 到直线 距离的最大值.
参考答案 - 数学(四)
1. ,所以 在复平面内对应的点为 ,位于第四象限. 故选 D.
2.C 因为 ,所以 . 故选 C.
3. 由 ,得 ,所以 . 故选 B.
4. B 先把除甲乙以外的 4 个人排好,共 种情况,再将甲乙两人插入这 4 人所形成的 5 个空中,有 20 种情况，根据分步乘法计数原理，总共有 种不同排法. 故选 B.
5.D 因为函数 的最小正周期为 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 的最小值是 4 . 故选 D.
6.C 因为函数 的定义域为 ,且 ,所以函数 是奇函数,因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,因为 ,所以 ,所以 ,解得 或 . 故选 C.
7. D 因为直线 的斜率之积为 ,所以 ,由直线 的斜率为 3,可知 ,所以 ,因为 ,所以 , ,因为 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 . 故选 D.
8. A 因为 ,所以 ,所以 ,同理 , . 令 ,则 ,令 ,得 ,当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,因为 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 故选 A.
9. AD 由题意知圆柱形原料的底面半径 ,高 ,表面积 ,体积 ,故 A 正确, B 错误; 由题意知圆锥形零件的底面半径 ,高 ,母线 ,表面积 ,体积 ,故 错误, 正确. 故选 AD.
10. 由余弦定理,得 ,所以 ,故 A 错误; 若 是 的中线,则 ,所以 ,即 ,所以 ,故 B 正确; 若 是 的高，则 ，所以 ,故 C 错误; 若 是 的角平分线,则 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 D 正确. 故选 BD.
11. 对于 ,因为 与 的面积之比为 3,且 ,所以 ,根据抛物线的定义,得 ,所以 ,故 正确; 对于 ,设直线 与 的准线交于点 ,不妨设 , 则 ,由 选项知 ,因为 ,所以 ,即 ,解得 ,所以 ,所以 ,因此直线 的倾斜角为 ,故 B 正确; 对于 ,易知 的焦点为 ,由 B 选项知,设直线 的方程为 ,与 联立,得 ,解得 ,所以 ,因为 的面积为 ，所以 ，解得 ,故 C 错误; 如图,设直线 的倾斜角为 ,当 时,过 作 ,垂足为 ,则 ,所以 ,解得 ,当 时,同理可得 ,当 时, 也成立,综上所述, 时, ,同理可得 ,所以 ,当 时, 取到最小值 ,故 D 正确. 故选 ABD.
12.1 因为 ,且 ,所以 ,即 ,解得 .
13.63 因为 是等比数列 的前 项和且 ,所以 成等比数列,即
成等比数列,所以 ,所以 ,解得 ,所以 .
14.5 由题意,得随机变量 可取 颗骰子的点数都不小于 的概率为 ,点数都不小于 的概率为 ,其中 ,所以 ,所以 ,令 ,得 ,记 , 因为 都关于 单调递减,所以 单调递减,又 ,所以 的最小值为 5 .
15. 解:(1) 列联表如下:
低于 40 岁 不低于 40 岁 总计
选择飞机出行 100 200 300
选择高铁出行 400 300 700
总计 500 500 1000
1 分
零假设为 : 市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联. 2 分
由列联表中的数据, 得
4 分
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联. 6 分
(2) ,
7 分
8 分
所以 , 9 分
10 分
所以每个时间段客流量 与时间段 的经验回归方程为 . 11 分
当 时, ,
所以预测 12:00~13:00 的客流量约为 4.25 千人. 13 分
16. 方法一:(1)证明:如图，连接 ，在矩形 中， ， ， ，
所以 ，又 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，即 . 2 分
因为 平面 平面 ,所以 . 3 分
因为 平面 ,所以 平面 , 5 分
又 平面 ,所以 . 6 分
(2)解:连接 交 于点 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ,平面 平面 ,所以 .
因为四边形 是矩形,所以 为 的中点,所以 为 的中点. 8 分
由题意可知, 两两垂直,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
故 . 9 分
所以 . 10 分设 为平面 的一个法向量,则
令 ,得 ,所以 . 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
方法二:(1)证明:由题意可知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示, 1 分
因为 ，所以 . 2 分
设 ,则 . 3 分因为 , 5 分所以 ,即 . 6 分
(2)解:连接 交 于点 ，连接 ，
因为 平面 平面 ,平面 平面 , 所以 . 8 分
因为四边形 是矩形,所以 为 的中点,所以 为 的中点,
故 . 9 分
所以 . 10 分
设 为平面 的一个法向量,则
令 ,得 ,所以 . 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 因为 ,且数列 是公差为 的等差数列,所以 ,
所以 , 2 分
当 时, ,两式相减,得 ,
所以 ,所以 , 4 分
所以数列 是常数列,所以 ,即 . 6 分
(2)因为 ,所以 . 7 分又 ,
两式相加,得 .
所以 . 10 分
所以 ,
12 分
两式相减,得
14 分所以 . 15 分
18.(1)解:当 时， ， ， 1 分
所以 . 2 分
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ,即 . 3 分
(2)(i)解: . 5 分
当 时, ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减. 6 分
所以 在 上的极大值为 . 7 分
若函数 在 上有两个零点,则 8 分
解得 ，所以 的取值范围是 . 9 分
( ii ) 证明: 由 ( l ) 得 ,要证 ,只需证 . 10 分因为 ,且 在 上单调递减,
所以只需证 . 11 分
因为 ,所以只需证 . 12 分
令 ,
则 14 分当 时, ,
所以 ,所以 ,即 在 上单调递增, 15 分
所以 ,
所以 ,即 . 16 分
所以 得证. 17 分
19.(1)解:由题意知 的渐近线方程为 ， 1 分
设 ,则 .
因为 ,所以 , 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)(i)证明: 由(1)，得 ， ，设 ， ， ，
直线 的斜率 ,直线 的斜率 . 5 分
因为 ,所以 . 6 分
因为 , 7 分
所以 . 8 分
因为 ,所以 , 9 分
所以 ,即 为定值一 . 10 分
(ii)解:若直线 的斜率为 0，根据对称性，直线 与直线 的交点 应在 轴上，不符合题意，
所以直线 的斜率不为 0,又 不重合,故可设直线 的方程为 . 11 分联立 得 ,
由题意得 且 ,即 ,
由韦达定理,得 . 12 分
由 得 ,
故 ,
所以 , 13 分
化简,得 . 14 分
因为 ,所以 ,解得 . 15 分
所以直线 的方程为 ,因此直线 恒过点 , 16 分所以当 时,坐标原点 到直线 的距离取得最大值 4 . 17 分

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