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高 一 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章 一第七章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1.(2-4i)i 的虚部为
A. 4 B. 2i C. -2i D. 2
2. 已知向量 ,若 ,则
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3. 在 中, ,则 外接圆的面积为
A. B. C. D.
4. “ ” 是 “复数 为纯虚数” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知力 作用于同一质点,使之由点 移动到点 ,则力 的合力 对质点所做的功为
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
6. 已知向量 与 不共线, ,则
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在同一平面内的两个观测点 与 ,现测得 米,在点 处测得塔顶 的仰角为 ，在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则铁塔的高度为
A. 80 米
B. 100 米
C. 112 米
D. 120 米
8. 若平面向量 满足 ,则 夹角的余弦值的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 关于向量, 下列说法错误的是
A. 温度、海拔、角度都是向量
B. 零向量没有方向
C. 若 是等边三角形,则 与 的夹角为
D. 若向量 与 共线，且 ，则
10. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，若 有且只有一个，则 的值可以是
A. 1 B. C. D.
11. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 为坐标原点,则
A. 若 ,则 B.
C. 若 ,则 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，写出一个与 共线的单位向量的坐标_____.
13. 已知 为虚数单位,且 ,则 _____.
14. 如图,已知扇形 的半径为 1,圆心角为 ,点 分别是半径 及弧 上的三个动点 (不同于 三点),则 的周长的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知复数 .
(1)若 在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围；
(2)当 时， 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
16. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的大小；
(2)已知 ，证明: 是等腰三角形.
17. (本小题满分 15 分)
已知平面向量 满足 ，且 在 上的投影向量为
(1)求向量 与 的夹角；
(2)若 ，求实数 的值.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在直角梯形 中， ， 为 上靠近点 的一个三等分点, 为线段 上的一个动点.
(1)用 和 表示 ；
(2)设 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 是锐角三角形,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求边 上的中线 的取值范围.
2025 级 2025~2026 学年度第二学期第一次月考试卷 高一数学 参考答案、提示及评分细则
1. ,所以 的虚部为 2. 故选 D.
2. 由 ,得 ,解得 . 故选 A.
3. D 设 外接圆的半径为 ,则 ,则 外接圆的面积为 . 故选 D.
4. C 由题意知,当 时, ,复数 ,是纯虚数,充分性成立; 当复数 为纯虚数时,有 解得 ,必要性成立,则 “ ” 是 “复数 为纯虚数” 的充要条件. 故选 C.
5. A 依题意, ,所以合力 对质点所做的功为 . 故选 A.
6. B 因为 ,所以 三点不共线,故 A 错误; 因为 ,所以 ,又 ,所以 , 故 三点共线,故 正确; 因为 ,所以 ,又 ,所以 三点不共线,故 错误; 因为 ,所以 三点不共线,故 错误. 故选 B.
7. 设 ,由 ,知 . 在 中, 米，由余弦定理，得 ，解得 米. 故选 B.
8. 设 ,以 为原点,以 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系,设 与 的夹角为 与 的夹角为 与 的夹角为 ,因为 ,所以 , . 设 ,则 ,所以 ,即 ,且 ,当且仅当 时,等号成立. 因为 ,所以 的夹角为锐角,所以 . 故选 A.
9. ABD 温度、海拔、角度只有大小没有方向,不是向量, A 错误; 零向量的方向是任意的, B 错误; 向量不能比较大小，D 错误. 故选 ABD.
10. 由正弦定理，得 ，所以 ，当 时， ，又 ，所以 ，或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, 正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, B正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,此时 有两个, 错误; 当 1,此时 不存在, 错误. 故选 AB.
11. 取 ,则 ,显然 不能比较大小, 错误; 在 中,设 ,则 ,所以 . , B正确; 由 ,得 ,所以 正确; i,又 ,所以 , D 正确. 故选 BCD.
12. 与 共线的单位向量为 ,坐标为 或 .
13.-1由 得 ,即 ,所以 解得 , 所以 .
14. 如图,作点 关于线段 所在的直线的对称点 ,连接 ,由图形的对称性知 ,则 的周长 ,当且仅当 四点共线时取等号, 的周长的最小值是 .
15. 解:(1)因为复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则 2 分解得 ,即 的取值范围是 . 6 分
(2)当 时, ， 7 分
因为 是关于 的方程 的一个根,所以 ,
即 ,整理得 , 10 分
所以 解得 13 分
16.(1)解:在 中，由 及正弦定理，得 ， 3 分整理得 ,
由余弦定理得 , 6 分
又 ,所以 . 8 分
(2)证明:由 及正弦定理，得 ， 10 分
由(1)知 ，
因此 ,即 ,所以 是等腰三角形. 15 分
17. 解: (1) 因为 ,且 在 上的投影向量为 ,
则 ,所以 . 3 分
因为 , 6 分
设向量 与 的夹角为 ,则 ,
又 ,所以 . 9 分
(2)因为 ，所以 ， 11 分
所以 ,则 , 13 分
解得 . 15 分
18. 解:(1)依题意 ，
, 3 分
6 分
(2)由已知
因 是线段 上动点,设 , 8 分
, 10 分
又 不共线,根据平面向量基本定理,则有 12 分
14 分
在 上递增, 15 分
所以 时, 时, , 16 分
故 的取值范围是 . 17 分
19. 解:(1)由 及正弦定理得， ， 1 分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 3 分
因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 5 分
(2) . 7 分
因为 是锐角三角形,且 ,所以 所以 , 8 分所以 , 所以 的取值范围为 . 10 分
(3)由余弦定理得， ,即 .
由 ,两边平方得 . 12 分由正弦定理可知, ,所以 ,
所以
, 15 分
由 ( 2 )知 ，所以 ， ， ， ，
即 ,则 . 17 分

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