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华东师大版数学七（下）第九章轴对称、平移与旋转单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．2025蛇年春晚的主题LOGO，源自甲骨文的“巳”字，字形像蛇，还有生长繁衍的意思，象征“巳巳如意，生生不息”．下列四个图形中，能由甲骨文“”字经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
5．如图，在长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形沿AF 折叠，使AB'∥BD，则折痕AF与AB 的夹角∠BAF=(　　)
A．50° B．55° C．65° D．70°
6． 小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片沿着翻折，点A，D的对应点分别为，，与交于点G，再将沿着边翻折，点的对应点落在长方形的内部点H处，若平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7． 学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）—（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点分别是长方形ABCD的边上两点，连结EF，此时.将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形交AD于点.继续将四边形沿EG翻折，点翻折到点.设，则与满足的数量关系是（　　）
A． B．°
C．° D．°
10．如图，已知，分别是长方形纸片边和上的点，沿进行第一次折叠，的对应点分别为交于点．再沿进行第二次折叠，点的对应点分别为．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，已知线段AB与直线BC的夹角∠ABC＝75°，点D是直线BC上的一个动点，平移线段AB，使点B移到点D的位置，得到线段DE，连接BE，再将△BDE沿BE折叠，使点D落在F处，若BF平分∠ABE，则∠BED＝　 　.
12．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则　 　．
13．如图，将长方形沿折叠，使点落在点的位置，再将四边形沿折叠得到四边形，若，则　 　。
14．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 　 　．
15．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：
①
②
③若，则
④
上述正确的结论是　 　．
16．如图，已知长方形纸片中，点E、F、G分别在边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，将三角形沿翻折，点D落在点处．有以下四个结论：①若，则；②若，则、、E三点不一定在同一直线上；③若，则；④若，则．其中正确的结论有　 　
三、解答题（共10题，共102分）
17．在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
（1）在图中，将平移，得到，使得与无重合部分．
（2）在图中，线段与相交，产生，请画一个，使得中的一个角等于．
18．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 沿着直尺 平移到三角尺的位置， 就可以画出 的平行线． 已知 ， ， 求直线 平移的距离．
19．为测量某一水池两端之间的距离，小涵、小宇两位同学分别设计出如下两种方案；
课题 测量水池两端、之间的距离
测量示意图
步骤说明 在平地上取一点，分别连接并延长到两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可．
数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：
（1）以上两位同学方案可行的是______的方案；
（2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由；
（3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由．
20．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
21．如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）求、、的度数；
（2）在旋转过程中，如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
22．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
23．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l1、l2表示河的两岸，且l1//l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示。
（1）如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF，则CD和EF的大小为CD　 　EF；
（2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短
亮亮的方法是：作AD⊥l2交l 1、l2于C，D两点.，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短；
木木的方法是：作AD⊥l2交l 1、l2于C，D两点，把线段CD平移至BE，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短。
你认为谁的方法正确？并说明理由。
（3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短 画出示意图，并用平移的原理说明理由。
24． 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
25．【探究】
图1 图2 图3
（1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________；
【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，．
（2）求的度数；
（3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数．
26．综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
（1）如图1，若，则______°，______°．
（2）如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由图可得，横向距离等于，纵向距离等于，
∴从到需要走的距离为：米，
故答案为：．
【分析】先将小路进行上下平移，得到小路横向总长和纵向总长，相加即可．
2．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；平移的性质
【解析】【解答】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到，
故答案为：C．
【分析】根据平移的特征进行判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，沿所在直线对折得到，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算求出即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长至，
设，则，
由折叠可得，
，
是的外角，
，
同理可得，，
∵
，
解得，
，
故选：A．
【分析】
设∠ACB=α。在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可以用α表示出∠A+∠B的度数（∠A+∠B=180° α），由折叠可知∠DOE=∠A，
∠FOE=∠B，那么∠DOF=∠DOE+∠FOE=∠A+∠B，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可得∠DOG=∠DCO+∠CDO；同理
∠FOG是△FCO的外角，∠FOG=∠FCO+∠CFO。而∠DOF=∠DOG+∠FOG，所以∠DOF=∠ACB+∠CDO+∠CFO，已知
∠CDO+∠CFO=104°， 结合前面得到的∠DOF的两种表达式，可建立关于α的等式（180° α=α+104°），进而求解α，即∠ACB的度数。
5．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质知∠B'AF=∠BAF.
∵AB'∥BD，
∴∠B'AD=∠ADB=20°，
∴
∴
故选：B.
【分析】对称前后的图形，对应边、对应角相等；两直线平行，内错角相等.借助角的和差计算即可.
6．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：令∠GEH的度数为x，
因为EH平分∠CEF，
所以∠GEF = 2∠GEH = 2x.
由翻折可知， ∠D'EG =∠GEH =x，
所以∠D'EF=3x，
则∠DEF=∠D'EF=3x.
由∠DEF+∠GEF =180°得，
3x+2x=180°，
解得x =36°，
所以∠GEF=2x=72°.
因为AB∥CD，
所以∠AFE=∠GEF =72°.
由翻折可知， ∠AFA'=2∠AFE = 144°，
所以∠A'FB= 180°-∠AFA'= 36°.
故答案为： A.
【分析】令∠GEH的度数为x，再根据轴对称的性质用x表示出∠D'EF，进一步表示出∠DEF，再建立关于x的方程，求出x的值，据此求出∠A'FB的度数即可.
7．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
由折叠的作图过程可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
故答案为：C .
【分析】根据折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直，即可由作图过程可知，∠1=∠2， 即内错角相等；∠1=∠4，即同位角相等；解答即可.
8．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可推理可得，，然后根据平行线的性质得到，，即可求出∠1的度数，进而求出∠CPM的值即可．
9．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由折叠可知，∠AEF=∠A1EF，∠A1EG=∠A2EG，
∵AE//BF，
∴∠α+∠AEF=180°，
即∠AEF=180-α=∠A1EF，
∴，
又∠A2EG+β=α，
∴，
即3α-β=180°，
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，平行线的性质进行计算即可.
10．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得∠3=∠4，则∠EGA=2∠3
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3=∠4，
∵∠2=3∠1，
∴∠2=3∠3=3∠4，
∴∠EGD'=5∠3，
由折叠得∠EGD=∠EGD'=5∠3，
∵∠EGD+∠EGA=180°，
∴7∠3=180°，
∴∠3=
∴∠EGA=2∠3=，
∵AD∥BC，
∴∠CEG=∠EGA=.
故答案为：A.
【分析】由折叠得∠3=∠4，则∠EGA=2∠3，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠3=∠4，结合已知及角的构成推出∠EGD'=5∠3，由折叠得∠EGD=∠EGD'=5∠3，由平角定义得∠EGD+∠EGA=180°，从而代入可求出∠3=，则∠EGA=2∠3=，最后再由二直线平行，内错角相等得∠CEG=∠EGA=.
11．【答案】50°或70°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当点D在点B的右侧时，如图①，
因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝∠ABE.
因为将△BDE沿BE折叠，点D落在F处，
所以∠EBF＝∠EBD.
因为∠ABC＝75°，
所以∠ABF＝∠EBF＝∠EBD＝∠ABC＝×75°＝25°.
由平移的性质，得DE∥AB，
所以∠BED＝∠ABE＝2∠ABF＝2×25°＝50°；
当点D在点B的左侧时，如图②，
因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝∠ABE.
因为将△BDE沿BE折叠，点D落在F处，
所以∠EBF＝∠EBD.
因为∠ABD＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
所以∠ABF＝∠EBF＝∠EBD＝∠ABD＝×105°＝35°.
由平移的性质，得DE∥AB，
所以∠BED＝∠ABE＝2∠ABF＝2×35°＝70°.
综上所述，∠BED＝50°或70°.
【分析】
分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由BF平分∠ABE， 得∠ABF =∠EBF， 由折叠得∠EBF=∠EBD， 则 ∠ABC =25°， 而DE∥AB，所以∠BED=∠ABE=2∠ABF = 50°； 二是点D在点B的左侧， 则∠ABD=180°-∠ABC=105°， ∠ABF=∠EBF 所以∠BED= ∠ABE =2∠ABF = 70°， 于是得到问题的答案.
12．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，设与相交于点M，与相交于点M，
∵，，
∴，
，
∵将纸片先沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】设与相交于点M，与相交于点M，根据题意进行角的运算得到，再根据折叠得到，进而结合题意进行角的运算即可求解。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠GFE=x°，
∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠CFE，
∵∠CFE=∠EFC'，
∴∠GEF=∠CFE=∠EFC'=x°，
∵∠FEB'=25°，
∴∠GEB'=∠GEB''=∠GEF+∠FEB''=（x+25）°，
∴∠FEB=∠FEB'=∠GEF+∠GEB'=（2x+25）°，
∵AB∥CD，
∴∠FEB+∠EFC=180°，
∴2x+25+x=180，
∴x=
故答案为：.
【分析】设∠GFE=x°，由AB∥CD，可得：∠GEF=∠CFE，由折叠可知∠CFE=∠EFC'，所以∠GEF=∠CFE=∠EFC'=x°，因为∠FEB'=25°，所以∠GEB'=∠GEB''=∠GEF+∠FEB''=（x+25）°，所以∠FEB=∠FEB'=∠GEF+∠GEB'=（2x+25）°，由AB∥CD，可知∠FEB+∠EFC=180°，进而可得方程2x+25+x=180，解方程求出未知数的值即可.
14．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由长方形的性质可知：，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得到，最后将数据代入求解即可.
15．【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质得，
，
，
，则，
是的一个外角，
，
设，则，
当时，，
题中并未明确的度数，故①错误；
，
，
由折叠性质可知，则，故②正确；
由折叠性质得，
由①的证明过程可知，，
设，则，
，
，
，解得，即，故③正确；
由①知，
是的一个外角，
，故④正确；
综上所述，题中正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
【分析】由折叠性质得到，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，则，只有当时结论①才成立；由，得到，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中，结合外角性质即可得到④正确.
16．【答案】①③④
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，得，
①、若，
∵，
整理得，
∴；
故①正确；
②、若，则
由折叠得，
∴与重合，
∴点三点一定在同一直线上，
故②错误；
③、若，则，
∴，则
故③正确；
④、若，则，
得，则，
故④正确．
所以，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
①：由折叠的性质，得，
根据，利用平角为求得；判断①正确；
②：由，得，由折叠得，
从而可知点三点一定在同一直线上，故②错误；
③：由，计算得，利用角度得和差计算得判断③正确；
④：由，计算得，
再由角得和差运算得.
逐一判断可以选出正确的答案.
17．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】将向右平移个单位长度解题即可；
将向右平移个单位，得到线段AE，连接BA，BE，则△ABE即为所作．
18．【答案】解：∵将三角尺ABC沿着直尺PQ平移到三角尺的位置，
∴A'C'＝AC，
∵AC'＝8，A'C＝2，
∴AC'＝AC＋A'C＋A'C'＝2AC＋2＝8，解得AC＝3，
∴AA'＝AC＋A'C＝3＋2＝5（cm），
答：直线AB平移的距离为5cm.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】根据平移的性质即可得到结论．
19．【答案】（1）小涵
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下，在和中，
，
∴，
∴，故小涵同学方案可行．
（3）解：使，理由如下，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解（1）：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案不能证明，
∴小涵同学方案可行，
故答案为：小涵．
【分析】
（1）小涵的方案可根据对顶角相等利用SAS证明全等；小宇的方案中只有一公共边，一角，不能判定全等，分析即可得小涵的方案可行，解答即可；
（2）根据对顶角相等利用SAS证明，再根据全等三角形的性质可得小涵同学的方案可行，证明即可解答；
（3）使，利用证明，再利用全等三角形的性质得到AB=CB，解答即可．
（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案不能证明，
∴小涵同学方案可行，
故答案为：小涵．
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下，
在和中，
，
∴，
∴，故小涵同学方案可行．
（3）解：使，理由如下，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．【答案】解：（1）作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，
平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作EF//AB，先利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出∠BED的度数即可；
（2）分类讨论：先分别画出图形，再利用角平分线的定义求出，，最后利用角的运算求解即可.
21．【答案】（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）①；②．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；图形的旋转；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（3）①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
【分析】
（1）根据三角形内角和是，再按比例，分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质得内错角相等，由垂直的定义再根据角的和差关系进行计算即可解答；
（3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可．
（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）解：①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
23．【答案】（1）CD=EF
（2）解：木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知BD=EC，
亮亮的方法，从A到B的路程为AC+CD+BD=AC+EC+CD
木木的方法，从A到B的路程为AE+BE=AE+CD
∵AE∴AE+CD∴木木的方法正确.
（3）解：如图b，.①作AD⊥l2交11、l2于C，D
.②把 CD平移至BE，连结 AE，交11于F.
③作FG⊥l2于G
在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短.
理由：由作图FG//BE，FG=BE，GF可以看做 BE平移的结果，∴. BG=EF，
若设另在HI 处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH+HI+HA>EA+GF，
∴在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短.
【知识点】垂线段最短及其应用；平移的性质
【解析】【解答】（1）解：∵桥与河岸垂直，
根据平行线间的线段相等，则
【分析】（1）根据平行线间的平行线段相等，直接得出答案；
（2）分别用两种方法求处于从A到B的路程，进行比较即可；
（3）作，FG=BE，GF可以看作BE平移的结果，则BG=EF，若设另在HI处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH +HI +HA>EA+GF，所以在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先求出∠DEM，根据折叠的性质可得∠DEF=∠DEM，再根据平行线的性质可得∠EFB=∠DEF；
（2）过点M作MK∥AE，根据平行公理的推论可得MK∥BE，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求得；
（3）根据折叠的性质得，，，，，，，设，，求出∠EFG，再根据得出x=2y-180°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠EFB，设∠BHP=∠QHP=z，根据四边形的内角和为360°可推出z=270°-2y，求出∠GHQ=630°-6y，∠EFG=360°-3y，即可求得.
25．【答案】解：（2）如下图，过点E作．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∴；
（3）如图2，过点E作，
∴．
∵，
∴，．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解∶（1）如图1中，作，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为∶，；
【分析】
（1）如图1中，作，证得，得到，结合，即可求解；
（2）过点E作，得到，由，求得，，再由是的平分线，是的平分线，得到，根据，，结合，即可求解．
（3）过点E作，得到，由，求得，．再由是的平分线，是的平分线，得到，，根据，，结合，即可求解.
26．【答案】（1）45，135
（2）解：，理由如下：
∵折叠，
∴，，，
∵，，
∴∠C'ED+∠C'DE=180°－∠C'=135°.
∵∠A+∠B+∠AED+∠BDE=(4－2)×180°=360°，
∴90°+45°+∠1+∠C'ED+∠2+∠C'DE=135°+135°+∠1+∠2=360°，
∴.
（3）解：不成立，；
∵折叠，
∴，，，
∵，，
∴∠C'ED+∠C'DE=180°－∠C'=135°.
∵∠A+∠B+∠AED+∠BDE=(4－2)×180°=360°，
∴90°+45°+∠1+∠C'ED+∠C'DE－∠2=135°+135°+∠1－∠2=360°，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由图1，记与的交点为，如图所示：
∵折叠，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，∠C'MC=∠AMD=90°，
，
故答案为：45，135；
【分析】（1）如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，由，可得，，于是可求得∠2和∠C'MC的度数，最后利用三角形的内角和定理即可求得∠1的度数；
（2）由折叠的性质可得，，，根据三角形的内角和定理可得∠C'ED+∠C'DE=135°.再由多边形的内角和定理可得∠A+∠B+∠AED+∠BDE=∠A+∠B+∠1+∠C'ED+∠2+∠C'DE=360°，代入数据即可得到结论.
（3）同（2）的步骤可证得∠A+∠B+∠AED+∠BDE=∠A+∠B+∠1+∠C'ED+∠C'DE－∠2=360°，代入数据即可得结论.
1 / 1华东师大版数学七（下）第九章轴对称、平移与旋转单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由图可得，横向距离等于，纵向距离等于，
∴从到需要走的距离为：米，
故答案为：．
【分析】先将小路进行上下平移，得到小路横向总长和纵向总长，相加即可．
2．2025蛇年春晚的主题LOGO，源自甲骨文的“巳”字，字形像蛇，还有生长繁衍的意思，象征“巳巳如意，生生不息”．下列四个图形中，能由甲骨文“”字经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；平移的性质
【解析】【解答】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到，
故答案为：C．
【分析】根据平移的特征进行判断即可。
3．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，沿所在直线对折得到，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算求出即可.
4．如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长至，
设，则，
由折叠可得，
，
是的外角，
，
同理可得，，
∵
，
解得，
，
故选：A．
【分析】
设∠ACB=α。在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可以用α表示出∠A+∠B的度数（∠A+∠B=180° α），由折叠可知∠DOE=∠A，
∠FOE=∠B，那么∠DOF=∠DOE+∠FOE=∠A+∠B，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可得∠DOG=∠DCO+∠CDO；同理
∠FOG是△FCO的外角，∠FOG=∠FCO+∠CFO。而∠DOF=∠DOG+∠FOG，所以∠DOF=∠ACB+∠CDO+∠CFO，已知
∠CDO+∠CFO=104°， 结合前面得到的∠DOF的两种表达式，可建立关于α的等式（180° α=α+104°），进而求解α，即∠ACB的度数。
5．如图，在长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形沿AF 折叠，使AB'∥BD，则折痕AF与AB 的夹角∠BAF=(　　)
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质知∠B'AF=∠BAF.
∵AB'∥BD，
∴∠B'AD=∠ADB=20°，
∴
∴
故选：B.
【分析】对称前后的图形，对应边、对应角相等；两直线平行，内错角相等.借助角的和差计算即可.
6． 小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片沿着翻折，点A，D的对应点分别为，，与交于点G，再将沿着边翻折，点的对应点落在长方形的内部点H处，若平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：令∠GEH的度数为x，
因为EH平分∠CEF，
所以∠GEF = 2∠GEH = 2x.
由翻折可知， ∠D'EG =∠GEH =x，
所以∠D'EF=3x，
则∠DEF=∠D'EF=3x.
由∠DEF+∠GEF =180°得，
3x+2x=180°，
解得x =36°，
所以∠GEF=2x=72°.
因为AB∥CD，
所以∠AFE=∠GEF =72°.
由翻折可知， ∠AFA'=2∠AFE = 144°，
所以∠A'FB= 180°-∠AFA'= 36°.
故答案为： A.
【分析】令∠GEH的度数为x，再根据轴对称的性质用x表示出∠D'EF，进一步表示出∠DEF，再建立关于x的方程，求出x的值，据此求出∠A'FB的度数即可.
7． 学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）—（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
由折叠的作图过程可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
故答案为：C .
【分析】根据折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直，即可由作图过程可知，∠1=∠2， 即内错角相等；∠1=∠4，即同位角相等；解答即可.
8．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可推理可得，，然后根据平行线的性质得到，，即可求出∠1的度数，进而求出∠CPM的值即可．
9．如图，点分别是长方形ABCD的边上两点，连结EF，此时.将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形交AD于点.继续将四边形沿EG翻折，点翻折到点.设，则与满足的数量关系是（　　）
A． B．°
C．° D．°
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由折叠可知，∠AEF=∠A1EF，∠A1EG=∠A2EG，
∵AE//BF，
∴∠α+∠AEF=180°，
即∠AEF=180-α=∠A1EF，
∴，
又∠A2EG+β=α，
∴，
即3α-β=180°，
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，平行线的性质进行计算即可.
10．如图，已知，分别是长方形纸片边和上的点，沿进行第一次折叠，的对应点分别为交于点．再沿进行第二次折叠，点的对应点分别为．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得∠3=∠4，则∠EGA=2∠3
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3=∠4，
∵∠2=3∠1，
∴∠2=3∠3=3∠4，
∴∠EGD'=5∠3，
由折叠得∠EGD=∠EGD'=5∠3，
∵∠EGD+∠EGA=180°，
∴7∠3=180°，
∴∠3=
∴∠EGA=2∠3=，
∵AD∥BC，
∴∠CEG=∠EGA=.
故答案为：A.
【分析】由折叠得∠3=∠4，则∠EGA=2∠3，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠3=∠4，结合已知及角的构成推出∠EGD'=5∠3，由折叠得∠EGD=∠EGD'=5∠3，由平角定义得∠EGD+∠EGA=180°，从而代入可求出∠3=，则∠EGA=2∠3=，最后再由二直线平行，内错角相等得∠CEG=∠EGA=.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，已知线段AB与直线BC的夹角∠ABC＝75°，点D是直线BC上的一个动点，平移线段AB，使点B移到点D的位置，得到线段DE，连接BE，再将△BDE沿BE折叠，使点D落在F处，若BF平分∠ABE，则∠BED＝　 　.
【答案】50°或70°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当点D在点B的右侧时，如图①，
因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝∠ABE.
因为将△BDE沿BE折叠，点D落在F处，
所以∠EBF＝∠EBD.
因为∠ABC＝75°，
所以∠ABF＝∠EBF＝∠EBD＝∠ABC＝×75°＝25°.
由平移的性质，得DE∥AB，
所以∠BED＝∠ABE＝2∠ABF＝2×25°＝50°；
当点D在点B的左侧时，如图②，
因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝∠ABE.
因为将△BDE沿BE折叠，点D落在F处，
所以∠EBF＝∠EBD.
因为∠ABD＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
所以∠ABF＝∠EBF＝∠EBD＝∠ABD＝×105°＝35°.
由平移的性质，得DE∥AB，
所以∠BED＝∠ABE＝2∠ABF＝2×35°＝70°.
综上所述，∠BED＝50°或70°.
【分析】
分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由BF平分∠ABE， 得∠ABF =∠EBF， 由折叠得∠EBF=∠EBD， 则 ∠ABC =25°， 而DE∥AB，所以∠BED=∠ABE=2∠ABF = 50°； 二是点D在点B的左侧， 则∠ABD=180°-∠ABC=105°， ∠ABF=∠EBF 所以∠BED= ∠ABE =2∠ABF = 70°， 于是得到问题的答案.
12．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，设与相交于点M，与相交于点M，
∵，，
∴，
，
∵将纸片先沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】设与相交于点M，与相交于点M，根据题意进行角的运算得到，再根据折叠得到，进而结合题意进行角的运算即可求解。
13．如图，将长方形沿折叠，使点落在点的位置，再将四边形沿折叠得到四边形，若，则　 　。
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠GFE=x°，
∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠CFE，
∵∠CFE=∠EFC'，
∴∠GEF=∠CFE=∠EFC'=x°，
∵∠FEB'=25°，
∴∠GEB'=∠GEB''=∠GEF+∠FEB''=（x+25）°，
∴∠FEB=∠FEB'=∠GEF+∠GEB'=（2x+25）°，
∵AB∥CD，
∴∠FEB+∠EFC=180°，
∴2x+25+x=180，
∴x=
故答案为：.
【分析】设∠GFE=x°，由AB∥CD，可得：∠GEF=∠CFE，由折叠可知∠CFE=∠EFC'，所以∠GEF=∠CFE=∠EFC'=x°，因为∠FEB'=25°，所以∠GEB'=∠GEB''=∠GEF+∠FEB''=（x+25）°，所以∠FEB=∠FEB'=∠GEF+∠GEB'=（2x+25）°，由AB∥CD，可知∠FEB+∠EFC=180°，进而可得方程2x+25+x=180，解方程求出未知数的值即可.
14．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由长方形的性质可知：，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得到，最后将数据代入求解即可.
15．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：
①
②
③若，则
④
上述正确的结论是　 　．
【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质得，
，
，
，则，
是的一个外角，
，
设，则，
当时，，
题中并未明确的度数，故①错误；
，
，
由折叠性质可知，则，故②正确；
由折叠性质得，
由①的证明过程可知，，
设，则，
，
，
，解得，即，故③正确；
由①知，
是的一个外角，
，故④正确；
综上所述，题中正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
【分析】由折叠性质得到，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，则，只有当时结论①才成立；由，得到，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中，结合外角性质即可得到④正确.
16．如图，已知长方形纸片中，点E、F、G分别在边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，将三角形沿翻折，点D落在点处．有以下四个结论：①若，则；②若，则、、E三点不一定在同一直线上；③若，则；④若，则．其中正确的结论有　 　
【答案】①③④
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，得，
①、若，
∵，
整理得，
∴；
故①正确；
②、若，则
由折叠得，
∴与重合，
∴点三点一定在同一直线上，
故②错误；
③、若，则，
∴，则
故③正确；
④、若，则，
得，则，
故④正确．
所以，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
①：由折叠的性质，得，
根据，利用平角为求得；判断①正确；
②：由，得，由折叠得，
从而可知点三点一定在同一直线上，故②错误；
③：由，计算得，利用角度得和差计算得判断③正确；
④：由，计算得，
再由角得和差运算得.
逐一判断可以选出正确的答案.
三、解答题（共10题，共102分）
17．在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
（1）在图中，将平移，得到，使得与无重合部分．
（2）在图中，线段与相交，产生，请画一个，使得中的一个角等于．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】将向右平移个单位长度解题即可；
将向右平移个单位，得到线段AE，连接BA，BE，则△ABE即为所作．
18．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 沿着直尺 平移到三角尺的位置， 就可以画出 的平行线． 已知 ， ， 求直线 平移的距离．
【答案】解：∵将三角尺ABC沿着直尺PQ平移到三角尺的位置，
∴A'C'＝AC，
∵AC'＝8，A'C＝2，
∴AC'＝AC＋A'C＋A'C'＝2AC＋2＝8，解得AC＝3，
∴AA'＝AC＋A'C＝3＋2＝5（cm），
答：直线AB平移的距离为5cm.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】根据平移的性质即可得到结论．
19．为测量某一水池两端之间的距离，小涵、小宇两位同学分别设计出如下两种方案；
课题 测量水池两端、之间的距离
测量示意图
步骤说明 在平地上取一点，分别连接并延长到两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可．
数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：
（1）以上两位同学方案可行的是______的方案；
（2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由；
（3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由．
【答案】（1）小涵
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下，在和中，
，
∴，
∴，故小涵同学方案可行．
（3）解：使，理由如下，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解（1）：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案不能证明，
∴小涵同学方案可行，
故答案为：小涵．
【分析】
（1）小涵的方案可根据对顶角相等利用SAS证明全等；小宇的方案中只有一公共边，一角，不能判定全等，分析即可得小涵的方案可行，解答即可；
（2）根据对顶角相等利用SAS证明，再根据全等三角形的性质可得小涵同学的方案可行，证明即可解答；
（3）使，利用证明，再利用全等三角形的性质得到AB=CB，解答即可．
（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案不能证明，
∴小涵同学方案可行，
故答案为：小涵．
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下，
在和中，
，
∴，
∴，故小涵同学方案可行．
（3）解：使，理由如下，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
【答案】解：（1）作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，
平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作EF//AB，先利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出∠BED的度数即可；
（2）分类讨论：先分别画出图形，再利用角平分线的定义求出，，最后利用角的运算求解即可.
21．如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）求、、的度数；
（2）在旋转过程中，如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
【答案】（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）①；②．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；图形的旋转；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（3）①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
【分析】
（1）根据三角形内角和是，再按比例，分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质得内错角相等，由垂直的定义再根据角的和差关系进行计算即可解答；
（3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可．
（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）解：①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
22．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
23．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l1、l2表示河的两岸，且l1//l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示。
（1）如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF，则CD和EF的大小为CD　 　EF；
（2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短
亮亮的方法是：作AD⊥l2交l 1、l2于C，D两点.，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短；
木木的方法是：作AD⊥l2交l 1、l2于C，D两点，把线段CD平移至BE，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短。
你认为谁的方法正确？并说明理由。
（3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短 画出示意图，并用平移的原理说明理由。
【答案】（1）CD=EF
（2）解：木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知BD=EC，
亮亮的方法，从A到B的路程为AC+CD+BD=AC+EC+CD
木木的方法，从A到B的路程为AE+BE=AE+CD
∵AE∴AE+CD∴木木的方法正确.
（3）解：如图b，.①作AD⊥l2交11、l2于C，D
.②把 CD平移至BE，连结 AE，交11于F.
③作FG⊥l2于G
在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短.
理由：由作图FG//BE，FG=BE，GF可以看做 BE平移的结果，∴. BG=EF，
若设另在HI 处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH+HI+HA>EA+GF，
∴在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短.
【知识点】垂线段最短及其应用；平移的性质
【解析】【解答】（1）解：∵桥与河岸垂直，
根据平行线间的线段相等，则
【分析】（1）根据平行线间的平行线段相等，直接得出答案；
（2）分别用两种方法求处于从A到B的路程，进行比较即可；
（3）作，FG=BE，GF可以看作BE平移的结果，则BG=EF，若设另在HI处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH +HI +HA>EA+GF，所以在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短．
24． 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先求出∠DEM，根据折叠的性质可得∠DEF=∠DEM，再根据平行线的性质可得∠EFB=∠DEF；
（2）过点M作MK∥AE，根据平行公理的推论可得MK∥BE，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求得；
（3）根据折叠的性质得，，，，，，，设，，求出∠EFG，再根据得出x=2y-180°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠EFB，设∠BHP=∠QHP=z，根据四边形的内角和为360°可推出z=270°-2y，求出∠GHQ=630°-6y，∠EFG=360°-3y，即可求得.
25．【探究】
图1 图2 图3
（1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________；
【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，．
（2）求的度数；
（3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数．
【答案】解：（2）如下图，过点E作．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∴；
（3）如图2，过点E作，
∴．
∵，
∴，．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解∶（1）如图1中，作，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为∶，；
【分析】
（1）如图1中，作，证得，得到，结合，即可求解；
（2）过点E作，得到，由，求得，，再由是的平分线，是的平分线，得到，根据，，结合，即可求解．
（3）过点E作，得到，由，求得，．再由是的平分线，是的平分线，得到，，根据，，结合，即可求解.
26．综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
（1）如图1，若，则______°，______°．
（2）如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
【答案】（1）45，135
（2）解：，理由如下：
∵折叠，
∴，，，
∵，，
∴∠C'ED+∠C'DE=180°－∠C'=135°.
∵∠A+∠B+∠AED+∠BDE=(4－2)×180°=360°，
∴90°+45°+∠1+∠C'ED+∠2+∠C'DE=135°+135°+∠1+∠2=360°，
∴.
（3）解：不成立，；
∵折叠，
∴，，，
∵，，
∴∠C'ED+∠C'DE=180°－∠C'=135°.
∵∠A+∠B+∠AED+∠BDE=(4－2)×180°=360°，
∴90°+45°+∠1+∠C'ED+∠C'DE－∠2=135°+135°+∠1－∠2=360°，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由图1，记与的交点为，如图所示：
∵折叠，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，∠C'MC=∠AMD=90°，
，
故答案为：45，135；
【分析】（1）如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，由，可得，，于是可求得∠2和∠C'MC的度数，最后利用三角形的内角和定理即可求得∠1的度数；
（2）由折叠的性质可得，，，根据三角形的内角和定理可得∠C'ED+∠C'DE=135°.再由多边形的内角和定理可得∠A+∠B+∠AED+∠BDE=∠A+∠B+∠1+∠C'ED+∠2+∠C'DE=360°，代入数据即可得到结论.
（3）同（2）的步骤可证得∠A+∠B+∠AED+∠BDE=∠A+∠B+∠1+∠C'ED+∠C'DE－∠2=360°，代入数据即可得结论.
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