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华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，且CA=CD，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．65°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，
则
∵CA=CD
∴CA=CD=AD
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A=60°
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CD=AD，进而得出△ACD为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可.
3．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
∴选项D符合。
故答案为：D．
【分析】本题结合菱形的判定方法，并依据“一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，逐选项进行分析判断，即可选出正确答案．
4．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选：A ．
【分析】根据尺规作图可知，从而得到四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得．
5．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；
B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】
有一个角为直角的菱形为正方形．
6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
7．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变小再变大
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
8．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【分析】根据题意可得，明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法，当时，四边形是菱形，结合选项，即可求解．
9．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
10．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=90° B．α+β-γ=90°
C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；余角
【解析】【解答】由图知90°-=90°，移项得.
故答案为：C.
【分析】由正方形各内角均为90°，可得图中同一顶点角之间的关系.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
12．如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
13．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
14．如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
【答案】四边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
理由如下∶
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
【分析】利用四条边都相等的四边形是菱形解答即可．
15．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
16．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
三、解答题（共10题，共102分）
17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．
（1）求的长；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）折叠转化：利用折叠性质，将 转化为 ，构建 求 .
（2）边长关联：通过 求 ，设 为未知数，利用折叠性质关联 与 ；方程求解：在 中应用勾股定理列方程，解出 ，确定 坐标.
（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，
∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
18．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
19． 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后根据菱形的性质得AC⊥BD，进而有∠COD=90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质求出CD，OC的长，再根据勾股定理求出OD的长，然后根据矩形的周长计算公式进行求解.
20．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积.
【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∵在中，，，，
∴
∴，
∴
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质以及勾股定理可得AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出 菱形的面积.
21．已知：为矩形对角线的交点，，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得，即可根据邻边相等的平行四边形判定四边形是菱形，解答即可．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥AB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
是等边三角形
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DBCE是平行四边形，则EC∥AB，且EC＝DB，再根据三角形中线性质可得EC＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则AD＝DB＝CD＝6，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形性质可得DE＝BC＝6，再根据菱形面积即可求出答案.
23．如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
24．如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G.
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB=6，△CDF的周长为14，求线段BD的长.
【答案】（1）证明：由作法得MN垂直平分BD，
∴BG=DG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
在△EGD和△BFG中，
，
∴△EGD≌△BFG（ASA）
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，即可得到BG=DG，根据矩形的性质，利用证明结论即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得，然后根据的周长求出的长度，再在中运用勾股定理解答即可．
25． 如图， 在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点， CD=AE.
（1）求证：DG⊥CE.
（2）若AF=EF，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE是AB边上的中线，
∴，
∵AE=CD
∴DE=CD
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE
（2）解：连接DE，
由(1)可知：DE=AE=CD=BE，DG⊥CE，
∵BE=DE，EF=AF，
∴∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，
设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，∠AEF=y，
∴∠DEF=2x-y，
∵DE=DC，
∴
∴
∴，
∵∠B+∠EAF=90°， ∠AEF=∠EAF，
∴，
∴x=36°，
∴∠B=36°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】(1)连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE=CD，根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)根据(1)易得∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，∠B+∠EAF =90°，设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，AF=y，根据三角形外角的性质可得∠DEF=2x-y，，列出等式可求得y的值，再根据∠B+∠EAF=90°即可求解.
26．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
1 / 1华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，且CA=CD，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．65°
3．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
7．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变小再变大
8．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
9．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
10．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=90° B．α+β-γ=90°
C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
12．如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
13．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
14．如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
15．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则　 　．
16．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
三、解答题（共10题，共102分）
17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．
（1）求的长；
（2）求点E的坐标．
18．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
19． 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
20．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积.
21．已知：为矩形对角线的交点，，．试判断四边形的形状，并说明理由．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
23．如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
24．如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G.
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB=6，△CDF的周长为14，求线段BD的长.
25． 如图， 在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点， CD=AE.
（1）求证：DG⊥CE.
（2）若AF=EF，求∠B的度数.
26．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，
则
∵CA=CD
∴CA=CD=AD
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A=60°
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CD=AD，进而得出△ACD为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可.
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
∴选项D符合。
故答案为：D．
【分析】本题结合菱形的判定方法，并依据“一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，逐选项进行分析判断，即可选出正确答案．
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选：A ．
【分析】根据尺规作图可知，从而得到四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得．
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；
B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】
有一个角为直角的菱形为正方形．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【分析】根据题意可得，明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法，当时，四边形是菱形，结合选项，即可求解．
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；余角
【解析】【解答】由图知90°-=90°，移项得.
故答案为：C.
【分析】由正方形各内角均为90°，可得图中同一顶点角之间的关系.
11．【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
12．【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
14．【答案】四边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
理由如下∶
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
【分析】利用四条边都相等的四边形是菱形解答即可．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
16．【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
17．【答案】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）折叠转化：利用折叠性质，将 转化为 ，构建 求 .
（2）边长关联：通过 求 ，设 为未知数，利用折叠性质关联 与 ；方程求解：在 中应用勾股定理列方程，解出 ，确定 坐标.
（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，
∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
18．【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
19．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后根据菱形的性质得AC⊥BD，进而有∠COD=90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质求出CD，OC的长，再根据勾股定理求出OD的长，然后根据矩形的周长计算公式进行求解.
20．【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∵在中，，，，
∴
∴，
∴
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质以及勾股定理可得AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出 菱形的面积.
21．【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得，即可根据邻边相等的平行四边形判定四边形是菱形，解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥AB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
是等边三角形
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DBCE是平行四边形，则EC∥AB，且EC＝DB，再根据三角形中线性质可得EC＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则AD＝DB＝CD＝6，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形性质可得DE＝BC＝6，再根据菱形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
24．【答案】（1）证明：由作法得MN垂直平分BD，
∴BG=DG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
在△EGD和△BFG中，
，
∴△EGD≌△BFG（ASA）
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，即可得到BG=DG，根据矩形的性质，利用证明结论即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得，然后根据的周长求出的长度，再在中运用勾股定理解答即可．
25．【答案】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE是AB边上的中线，
∴，
∵AE=CD
∴DE=CD
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE
（2）解：连接DE，
由(1)可知：DE=AE=CD=BE，DG⊥CE，
∵BE=DE，EF=AF，
∴∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，
设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，∠AEF=y，
∴∠DEF=2x-y，
∵DE=DC，
∴
∴
∴，
∵∠B+∠EAF=90°， ∠AEF=∠EAF，
∴，
∴x=36°，
∴∠B=36°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】(1)连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE=CD，根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)根据(1)易得∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，∠B+∠EAF =90°，设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，AF=y，根据三角形外角的性质可得∠DEF=2x-y，，列出等式可求得y的值，再根据∠B+∠EAF=90°即可求解.
26．【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
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