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辽宁省葫芦岛市龙港区2025——2026学年度第二学期九年级阶段检测
数学试卷
一、单选题
1．下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．2026年中国计划入轨卫星总量将突破1000颗，其中商业卫星占，总价约为1020000000．数据1020000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．从实数，3，中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．48
9．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（ ）
A．32 B． C．56 D．64
二、填空题
11．葫芦岛市3月份某天中午的气温是零上，记为，早晨的温度为零下，记为________．
12．学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________．
甲 乙 丙
平均分 93 95 95
方差 10.2 8.5 9.3
13．在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________．
14．无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的处，测得小山两端的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是米，则小山两端之间的距离是________米．
15．如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)
17．某学校计划购进两种型号的学生桌椅．已知购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元；购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元．
(1)求两种型号桌椅每套的单价；
(2)若学校计划购买两种型号的桌椅共套，且总费用不超过元，则最多可以购买型号桌椅多少套？
18．2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________；
(2)扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类；
(3)若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？
19．篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表
活动主题 分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐
活动准备 ．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、
采集数据 右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下： ．篮球出手点距地面高度为； ．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点； ．篮筐中心距地面高度为．
设计方案 考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围）
(2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？
20．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，．
(1)分别求出直线和双曲线的函数表达式；
(2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标．
21．已知四边形内接于，为的直径．N是延长线上一点，连接．
(1)如图①，若交于点M，，，，求的度数；
(2)如图②，若与相切于点D，延长交于点P，，，，求的长度．
22．中，，，，为中点，连接．
(1)如图，当点在的延长线上时，求证：，；
(2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，；
(3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积．
23．抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点作轴的垂线交抛物线于点，交抛物线于点，交线段于点．
①求证：
②顺次连接，，，，四边形的形状随着值的变化而变化，判定四边形能否是矩形，如果能是矩形，求出相应的值；如果不能是矩形，说明理由；
(3)已知是的函数，其图象记为，当时，；当时，．直线与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，．
①直接写出图象的解析式，并指明自变量的取值范围；
②若，直接写出的值．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．C
5．A
6．D
7．B
8．C
9．B
10．D
11．
12．乙
13．
14．
15．
16．（1）解：
．
（2）解：
．
17．（1）解：设型桌椅每套单价为元，型桌椅每套单价为元，
根据题意列方程组：，
解得：，
答：型号桌椅每套元，型号桌椅每套元；
（2）解：设购买型桌椅套，则购买型桌椅套，
根据总费用要求列不等式：，
化简得：，
即，
答：最多可以购买型桌椅套．
18．（1）解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
（2）解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
19．（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴篮球飞行的抛物线解析式为；
（2）解：把代入，得，
∵，
∴此次投篮不能命中篮筐．
20．（1）解：将代入得，
解得：，
∴，
将代入得，
∴，
将、代入得：
解得：，
∴；
（2）解：设，
∵点是线段上的一个动点，
∴，
∵过点作轴于点，是轴上一点，
∴，到的距离为m，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积最大，
∵在的范围内，
∴当的面积最大时，．
21．（1）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：连接，与交于点，
∵与相切于点D，
∴，
∴
∵为的直径
∴，
∵，是半径，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∴．
22．（1）证明：如图所示，设交于点，交于点G，
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长到点T，使得，连接，
∵为中点，，
∴是的中位线，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形
∴，，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，延长交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3-1所示，延长到点T，使得，连接，
由（2）可得，
∵，
∴，
∴，即B、C、T三点共线；
在中，，
∴，
∵，
∴；
如图3-1所示，过点A作于点M，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3-2所示，延长到点T，使得，连接，
∵为中点，，
∴是的中位线，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
设直线交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即B、C、T三点共线，
∴点B与点Q重合；
如图3-2所示，过点A作于点M，则，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
23．（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，，
∴，，
代入抛物线，
得，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①令直线的函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，，，
即，，，
∴，
，
∴．
②假设四边形能是矩形，则其对角线交点为点，
则该情况下点为中点，
∵，，
∴，，
当时，，，
∴，，
∴，
∵，不满足矩形的对角线相等，与假设矛盾，
故四边形不能是矩形．
（3）解：①根据题意，可得函数实际图象如下：
∵，，
∴．
②若与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，，
可判断出点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、；
点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、；
故可得方程，，
化简得，，
则、为方程的两个解，、为方程的两个解，
∴，，，，
故，，
∵，
∴，
化简得，解得．

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