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华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
2．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4． 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（　　）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
5．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．24
7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（　　）
A．13 B．18 C．15 D．16
8． 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，和是两个相同的含角的直角三角板，将两个三角板的最长边和放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板，从点 A 开始，将三角板沿射线移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形， 则①，②分别代表（　　）
A．菱形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，菱形 D．矩形，矩形
10．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝　 　．
12．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，连接，交于点G，若平分，，则的长为　 　．
13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
14．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是　 　．
15．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则　 　．
16．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，则的面积为　 　．
三、解答题
17．数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段．
提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕、线段；
提出问题：（2）已知，，求的长．
18．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
19． 如图，在正方形 ABCD 中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，AF=AE，连结BE，DE，BF.
（1）求证：BF=DE；
（2）当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗 请说明理由.
20．如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF．连结 BD，EF交于点 O.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形.
（2）若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求平行四边形ABCD 的周长.
22．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
23．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　.
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.
24．【问题提出】
（1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．
①判断的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度．
25．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；
（2）【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
（3）【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形的四边中点，，，依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图中四边形的形状如图，则四边形还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图，在的条件下，若连接，当与满足什么条件时，四边形是矩形，直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图知，BC = 8 - 2 = 6cm，∵ D 为 BC 中点，且∠ BAC = 90°，
∴AD = BC = 6 = 3cm。
故选：A．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，即斜边上的中线长度等于斜边的一半。解题时先由刻度尺读数求出 BC 的长度，再结合 D 为 BC 中点及 ∠ BAC = 90°，直接运用该性质计算 AD 的长。
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，，
∴平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由菱形的对角线互相垂直平分结合同角的余角相等可得，再由菱形的对角相等且一条对角线平分一组对角即可．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为=12．
故选：B．
【分析】本题主要考查矩形的性质与全等三角形的应用。解题思路是通过证明三角形全等将阴影部分面积转化为矩形面积的四分之一。由矩形对角线互相平分且相等，得 AO = CO，结合对顶角相等及内错角相等可证 △ AOE△ COF，从而阴影部分面积等于 △CDO 的面积，而矩形对角线将其分成四个面积相等的三角形，故阴影面积为 = 12。
7．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，
∴△BFC和△BEC都是直角三角形，
又∵点M为BC的中点，
∴，
∴△EFM的周长=MF+EM+EF=BC+EF=8+5=13．
故选：A．
【分析】根据直角三角形判定定理可得△BFC和△BEC都是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据三角形周长即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得，则四边形是平行四边形，当点D与点B重合时，，此时四边形是矩形，再移动时四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，再移动时四边形是平行四边形，
所以四边形的形状依次为平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形．
则①②分别代表矩形，菱形．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
11．【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：，
故答案为：1．
【分析】先利用矩形的性质求出OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，再结合OE＝1，CE⊥BD，利用勾股定理求出CE的长即可.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作于点M，根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，设，则，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得ME，再根据勾股定理可得EF，再根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
14．【答案】①③
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如下图，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
∴此结论正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
∴此结论错误，不符合题意；
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，
∴此结论正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CMPN是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CMPN是菱形；
②当点P与点A重台时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CQN中，用勾股定理求出QN的值，然后根据MN=2QN可求解；
③当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，对角线平分对角，四个角都是90°，再根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°，由此可得：，，，，
根据角的和差运算可知：，，根据等腰三角形的性质，等边对等角可得：，最后根据三角形内角和定理在△AFE中，，由此可得出答案．
16．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用，先根据正方形的性质得到、、，结合推出，进而证明，得到、，再求出，在中用勾股定理求出，进而求出和的长度，最后用三角形面积公式计算的面积。
17．【答案】解：（1）猜想，证明如下：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴由折叠的性质得：，，，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)本题考查矩形的折叠性质、等边三角形的判定与性质，先根据矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，，，推出为等边三角形，得到，进而求出三个角的度数并证明相等；
(2)本题考查矩形的折叠性质和勾股定理，先由折叠的性质得到，，，且，在中利用勾股定理求出的长，进而得到的长，设表示出，在中利用勾股定理列出关于的方程，求解方程得到的长度。
18．【答案】（1）证明：菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：菱形，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE.
又∵AF=AE，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴BF=DE
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.
理由：∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，BE=AE=AC.
又∵AF=AE，∴BE=AF.
∵BE⊥AC，AF⊥AC，∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
又∵∠EAF=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质判定后即可得到BF=DE；
(2)利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可.
20．【答案】解：四边形为矩形，理由是：∵是的中位线，是的中线，
∴点分别是边的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴四边形为平行四边
又 ∵，
∴平行四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】四边形为矩形．首先根据三角形中位线定理可得出，即可得出四边形为平行四边形，进而再根据，即可得出四边形为矩形．
21．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD
∵AE=CF
∴AB－AE＝CD－CF，
∴EB＝DF，BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，
∵BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形，
∴DF=BF，
∵△CBF的周长是12
∴BF+CF+BC=DF+CF+BC=CD+BC=12.
∴平行四边形ABCD的周长=2(CD+BC)=24.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，由线段的和差可得EB＝DF，再由平行四边形的判定定理，即可得到结论；
（2）证明四边形DEBF是菱形，可得DF=BF，再结合△CBF的周长即可得到结论.
22．【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴，
∴.
，
解得：，或（舍去），
；
（2）解：是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）矩形（写一个即可）
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求.
（3）证明：在正方形 ABCD 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 DEFG 是垂等四边形
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形.
【分析】(1)根据垂等四边形的定义判断即可；
(2)根据垂等四边形的定义画出图形即可；
(3)证明∠EFG=90°，EG=DF即可.
24．【答案】（1）6；
（2）是等腰直角三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）①过点A作于点G，如图③．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，米，
∴40米，
在和中，
，
∴，
∴，，
即，
∴是等腰直角三角形．
②连接、，取的中点M，连接，如图③．
∵F为的中点，和都是直角三角形，
．
在和中，
，
∴，
∴．
∵点F、M分别为、的中点，
∴为的中位线，
米，，
，
即为等腰直角三角形，
米，
即该运输通道的长度为米．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴点为中点，
∵点F为边的中点，
∴，
∴，
即正方形边长为6；
故答案为：6.
【分析】（1）根据正方形的性质求出点为中点，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的判定方法求出四边形是正方形，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（3）利用SSS证明，再根据三角形的中位线求出为的中位线，最后计算求解即可.
25．【答案】（1）30
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴

（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解；
（2）同（1）可证，再根据正方形的性质及折叠的性质由“HL”证明出，再由全等的性质即可推算出结果；
（3） 当时 ，点Q可以在点F的上方，也可以在点F的下方，分两种情况画出图形分别根据折叠的性质及勾股定理求解即可.
（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
26．【答案】（1）解：是平行四边形，理由如下：
如图，连接，
是的中点，是的中点，
，，
同理，，
综上可得：，，
故四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形为矩形；
理由如下：
同得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，，，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明；
（2）根据平行线的性质和垂直关系可得GH⊥BD，再推出∠HGF=90°，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形，即可求得.
1 / 1华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
2．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图知，BC = 8 - 2 = 6cm，∵ D 为 BC 中点，且∠ BAC = 90°，
∴AD = BC = 6 = 3cm。
故选：A．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，即斜边上的中线长度等于斜边的一半。解题时先由刻度尺读数求出 BC 的长度，再结合 D 为 BC 中点及 ∠ BAC = 90°，直接运用该性质计算 AD 的长。
3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，，
∴平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由菱形的对角线互相垂直平分结合同角的余角相等可得，再由菱形的对角相等且一条对角线平分一组对角即可．
4． 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（　　）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
5．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．24
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为=12．
故选：B．
【分析】本题主要考查矩形的性质与全等三角形的应用。解题思路是通过证明三角形全等将阴影部分面积转化为矩形面积的四分之一。由矩形对角线互相平分且相等，得 AO = CO，结合对顶角相等及内错角相等可证 △ AOE△ COF，从而阴影部分面积等于 △CDO 的面积，而矩形对角线将其分成四个面积相等的三角形，故阴影面积为 = 12。
7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（　　）
A．13 B．18 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，
∴△BFC和△BEC都是直角三角形，
又∵点M为BC的中点，
∴，
∴△EFM的周长=MF+EM+EF=BC+EF=8+5=13．
故选：A．
【分析】根据直角三角形判定定理可得△BFC和△BEC都是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据三角形周长即可求出答案.
8． 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
9．如图，和是两个相同的含角的直角三角板，将两个三角板的最长边和放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板，从点 A 开始，将三角板沿射线移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形， 则①，②分别代表（　　）
A．菱形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，菱形 D．矩形，矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得，则四边形是平行四边形，当点D与点B重合时，，此时四边形是矩形，再移动时四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，再移动时四边形是平行四边形，
所以四边形的形状依次为平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形．
则①②分别代表矩形，菱形．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
10．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝　 　．
【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：，
故答案为：1．
【分析】先利用矩形的性质求出OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，再结合OE＝1，CE⊥BD，利用勾股定理求出CE的长即可.
12．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，连接，交于点G，若平分，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作于点M，根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，设，则，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得ME，再根据勾股定理可得EF，再根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
14．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如下图，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
∴此结论正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
∴此结论错误，不符合题意；
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，
∴此结论正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CMPN是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CMPN是菱形；
②当点P与点A重台时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CQN中，用勾股定理求出QN的值，然后根据MN=2QN可求解；
③当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可求解．
15．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，对角线平分对角，四个角都是90°，再根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°，由此可得：，，，，
根据角的和差运算可知：，，根据等腰三角形的性质，等边对等角可得：，最后根据三角形内角和定理在△AFE中，，由此可得出答案．
16．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，则的面积为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用，先根据正方形的性质得到、、，结合推出，进而证明，得到、，再求出，在中用勾股定理求出，进而求出和的长度，最后用三角形面积公式计算的面积。
三、解答题
17．数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段．
提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕、线段；
提出问题：（2）已知，，求的长．
【答案】解：（1）猜想，证明如下：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴由折叠的性质得：，，，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)本题考查矩形的折叠性质、等边三角形的判定与性质，先根据矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，，，推出为等边三角形，得到，进而求出三个角的度数并证明相等；
(2)本题考查矩形的折叠性质和勾股定理，先由折叠的性质得到，，，且，在中利用勾股定理求出的长，进而得到的长，设表示出，在中利用勾股定理列出关于的方程，求解方程得到的长度。
18．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
【答案】（1）证明：菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：菱形，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
19． 如图，在正方形 ABCD 中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，AF=AE，连结BE，DE，BF.
（1）求证：BF=DE；
（2）当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE.
又∵AF=AE，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴BF=DE
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.
理由：∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，BE=AE=AC.
又∵AF=AE，∴BE=AF.
∵BE⊥AC，AF⊥AC，∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
又∵∠EAF=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质判定后即可得到BF=DE；
(2)利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可.
20．如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由．
【答案】解：四边形为矩形，理由是：∵是的中位线，是的中线，
∴点分别是边的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴四边形为平行四边
又 ∵，
∴平行四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】四边形为矩形．首先根据三角形中位线定理可得出，即可得出四边形为平行四边形，进而再根据，即可得出四边形为矩形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF．连结 BD，EF交于点 O.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形.
（2）若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求平行四边形ABCD 的周长.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD
∵AE=CF
∴AB－AE＝CD－CF，
∴EB＝DF，BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，
∵BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形，
∴DF=BF，
∵△CBF的周长是12
∴BF+CF+BC=DF+CF+BC=CD+BC=12.
∴平行四边形ABCD的周长=2(CD+BC)=24.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，由线段的和差可得EB＝DF，再由平行四边形的判定定理，即可得到结论；
（2）证明四边形DEBF是菱形，可得DF=BF，再结合△CBF的周长即可得到结论.
22．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴，
∴.
，
解得：，或（舍去），
；
（2）解：是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　.
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.
【答案】（1）矩形（写一个即可）
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求.
（3）证明：在正方形 ABCD 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 DEFG 是垂等四边形
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形.
【分析】(1)根据垂等四边形的定义判断即可；
(2)根据垂等四边形的定义画出图形即可；
(3)证明∠EFG=90°，EG=DF即可.
24．【问题提出】
（1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．
①判断的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度．
【答案】（1）6；
（2）是等腰直角三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）①过点A作于点G，如图③．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，米，
∴40米，
在和中，
，
∴，
∴，，
即，
∴是等腰直角三角形．
②连接、，取的中点M，连接，如图③．
∵F为的中点，和都是直角三角形，
．
在和中，
，
∴，
∴．
∵点F、M分别为、的中点，
∴为的中位线，
米，，
，
即为等腰直角三角形，
米，
即该运输通道的长度为米．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴点为中点，
∵点F为边的中点，
∴，
∴，
即正方形边长为6；
故答案为：6.
【分析】（1）根据正方形的性质求出点为中点，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的判定方法求出四边形是正方形，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（3）利用SSS证明，再根据三角形的中位线求出为的中位线，最后计算求解即可.
25．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；
（2）【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
（3）【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
【答案】（1）30
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴

（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解；
（2）同（1）可证，再根据正方形的性质及折叠的性质由“HL”证明出，再由全等的性质即可推算出结果；
（3） 当时 ，点Q可以在点F的上方，也可以在点F的下方，分两种情况画出图形分别根据折叠的性质及勾股定理求解即可.
（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形的四边中点，，，依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图中四边形的形状如图，则四边形还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图，在的条件下，若连接，当与满足什么条件时，四边形是矩形，直接写出结论．
【答案】（1）解：是平行四边形，理由如下：
如图，连接，
是的中点，是的中点，
，，
同理，，
综上可得：，，
故四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形为矩形；
理由如下：
同得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，，，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明；
（2）根据平行线的性质和垂直关系可得GH⊥BD，再推出∠HGF=90°，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形，即可求得.
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