资源简介

四川省泸州市泸县五中学区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分）
1．下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C．不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故本选项符合题意；
B、和不能合并，不等于，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、不等于，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式性质将二次根式化为最简即可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C、D选项.
3．平行四边形 中，的度数之比有可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质；比的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
A、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项符合题意；
C、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
D、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，由各个选项中的条件以及内角和求出∩A、∠B、∠C、∠D的度数，据此判断.
4．下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故C不符合题意；
∴三角形是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理. 解题关键在于严格按照勾股定理逆定理，验证“两短边的平方和是否等于最长边的平方”，若满足，则该三角形为直角三角形. 解题时需对每个选项逐一计算验证，排除不符合条件的选项，最终选出正确答案．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
故选：B．
【分析】
本题围绕特殊四边形的判定定理展开，核心是熟练掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定条件，逐一辨析选项的严谨性，区分“四边形”与“平行四边形”的前提差异，是特殊四边形判定的基础辨析题型.
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16 6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于先由平行四边形对边相等得CD=AB，再结合的周长求出OD+OC，最后利用对角线平分的性质，得到BD+AC=2(OD+OC).
7．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、角度的和差计算. 先利用正方形对角线平分内角的性质，求出，进而得到；再由CE=AC证明为等腰三角形，求出，最后结合三角形外角定理计算∠AFC的大小．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（　　）
A．3 B．10 C．41或10 D．10或
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；分类讨论
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，
分两种情况：
当x是斜边时，，
当8是斜边时，，
综上可知，第三条边长为10或，
故选择：D
【分析】
本题考查勾股定理、直角三角形的性质、分类讨论思想. 核心是考虑“第三边为斜边、已知边为斜边”两种可能性，避免漏解，解题需明确直角三角形斜边的不同情况.
10．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，
，，
．
故答案为：D．
【分析】先根据实数在数轴上表示得到，进而化简绝对值和二次根式，从而即可求解。
11．如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180° 150°）＝15°，∠OAF＝45° 15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理. 解题关键在于先结合正方形和等边三角形的性质，证明为等腰三角形，求出的度数，再推导，利用含角的直角三角形性质求AF，最后用勾股定理求OA，进而得到AB的长度.
12．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．2或1.5 D．3或1.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°，
分两种情况讨论：
①当∠FED=90°时，如图1所示，
则∠CEF=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴FE=BC=3，
由折叠的性质得：CE=FE=3；
②当∠DFE=90°时，如图2所示，
在Rt△ABD中，∵AB=4，AD=3，
∴，
由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE，
∵∠DFE+∠EFB=180°，
∴点B、F、D共线，即点F在BD上，DF=BD-BF=5-3=2，
设FE=CE=x，则DE=4-x，
在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2，
∴x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5
即CE=1.5，
综上所述，CE的长为3或1.5．
故答案为：D．
【分析】由矩形性质得 CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°；分两种情形：①当∠FED=90°时，如图1，∠FEC=90°，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BCEF是矩形，由矩形对边相等得FE=BC=3，然后根据折叠可得CE=EF=3；②当∠DFE=90°时，如图2，先利用勾股定理算出BD=5，由折叠得 ∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE， 从而可判断出 点B、F、D共线，即点F在BD上， 利用线段和差算出DF=2， 设FE=CE=x，则DE=4-x， 在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出x的值即可得到CE的长，综上即可得出答案.
二、填空题（每小题3分，共4个小题，共12分）．
13．要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为　 　．
【答案】25
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积，
因此正方形的面积之和，
故答案为：25．
【分析】
本题考查勾股定理的几何意义、正方形的面积计算. 解题关键在于利用勾股定理的几何意义“直角三角形两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”，得出正方形A、B面积和等于E的面积，C、D面积和等于F的面积，进而推出四个小正方形面积和等于最大正方形G的面积，最终计算得面积和为.
15．如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为　 　°．
【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形DFMH是正方形，
∴HM∥DF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：37．
【分析】由正方形对边平行得HM∥DF，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠CEG=67°，根据三角形外角性质得出∠AGE=∠CEG-∠A=37°，最后根据对顶角相等可得∠2的度数.
16．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及有理数乘方运算法则分别计算，再计算加减法得出答案.
18．计算：．
【答案】解：，
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式四则混合运算、平方差公式的应用. 解题关键在于遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，先利用二次根式除法法则计算除法项，再用平方差公式简化乘法项，最后合并同类二次根式.
19．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
，
当 时，
原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：．
【答案】证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得，由二直线平行，内错角相等，从而用“SAS”证△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应角相等得，由邻补角及等角的补角相等得，最后根据内错角相等两直线平行得出AF∥CE.
21．已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元
【答案】解：连接BD，如图所示：
∵∠A=90°，
∴DB2=AB2+AD2=25，
∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2
∴∠DBC=90°，
∴S四边形 = ，
∴36×100=3600，
答：需投入3600元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵∠A=90°
∴DB2=AB2+AD2=25
∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2
∴∠DBC=90°
∴S四边形 = ，
∴36×100=3600
答：需投入3600元．
【分析】连接BD，先利用勾股定理的逆定理证出∠DBC=90°，再利用三角形的面积公式及割补法求出S四边形 = ，最后利用“总投入=每平米的费用×面积”列出算式求解即可.
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，求的长.
【答案】解：∵是的垂直平分线，∴，
设，则，
在Rt中
，即
整理得：，
解得：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】本题以直角三角形为载体，考查线段垂直平分线的性质与勾股定理的综合应用. 解题核心是通过垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，得到AD=CD，再通过设未知数，在Rt中结合勾股定理列方程求解.
23．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】（1）解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，
故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
（2）C岛在A港的北偏西40°方向；理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的实际应用、勾股定理逆定理的应用、方位角的计算.（1）在Rt中用勾股定理计算BD，再在Rt中求AC，结合速度公式计算时间；
（2）用勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，结合方位角计算C岛的位置.
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴OA=OC，BD=2OB=4，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由二直线平行内错角相等得，由角平分线定义得，由等量代换得，由等角对等边得，等量代换得到，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得证；
（2）由菱形的对角线互相平分得出OA=OC，BD=2OB=4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AC的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可算出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
25．如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，1cm/秒的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．
（1）求边上高的长度；
（2）连接，，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
（3）解：∵于P，于Q，
∴∠MPN=∠NQM=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PMQ=∠QNP=90°，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当时，四边形为正方形．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
当t为或时，四边形为正方形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的对边相等得出，然后由等腰直角三角形性质得AE=BE，从而根据勾股定理建立方程可求出AE的长；
（2）由路程、速度、时间三者的关系得AM=CN=t，由平行四边形的对边平行得出AM∥CN，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AMCN为平行四边形，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出当AN=CN时，四边形AMCN为菱形，由线段和差得EN=|6-t|，在Rt△AEN中，利用勾股定理建立方程可求出t的值；
（3）由垂直定义得∠MPN=∠NQM=90°，由二直线平行，同旁内角互补得∠PMQ=∠QNP=90°，从而由“四个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形MPNQ是矩形，进而根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得出则当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形；根据线段和差AQ=EN=6-t，QM=|2t-6|，由QN=AE=3建立方程，求解即可得出t的值.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
（3）解：∵于P，于Q，，
∴四边形为矩形，
∴当时，四边形为正方形．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
1 / 1四川省泸州市泸县五中学区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分）
1．下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．平行四边形 中，的度数之比有可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
7．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（　　）．
A． B． C． D．
9．一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（　　）
A．3 B．10 C．41或10 D．10或
10．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （　　）
A． B． C． D．1
11．如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（　　）
A．2 B． C． D．3
12．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．2或1.5 D．3或1.5
二、填空题（每小题3分，共4个小题，共12分）．
13．要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为　 　．
15．如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为　 　°．
16．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．计算：．
18．计算：．
19．先化简，再求值： ，其中 .
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：．
21．已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，求的长.
23．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求四边形的面积．
25．如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，1cm/秒的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．
（1）求边上高的长度；
（2）连接，，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C．不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故本选项符合题意；
B、和不能合并，不等于，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、不等于，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式性质将二次根式化为最简即可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C、D选项.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质；比的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
A、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项符合题意；
C、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
D、设，
∴，解得：，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，由各个选项中的条件以及内角和求出∩A、∠B、∠C、∠D的度数，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故C不符合题意；
∴三角形是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理. 解题关键在于严格按照勾股定理逆定理，验证“两短边的平方和是否等于最长边的平方”，若满足，则该三角形为直角三角形. 解题时需对每个选项逐一计算验证，排除不符合条件的选项，最终选出正确答案．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
故选：B．
【分析】
本题围绕特殊四边形的判定定理展开，核心是熟练掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定条件，逐一辨析选项的严谨性，区分“四边形”与“平行四边形”的前提差异，是特殊四边形判定的基础辨析题型.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16 6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于先由平行四边形对边相等得CD=AB，再结合的周长求出OD+OC，最后利用对角线平分的性质，得到BD+AC=2(OD+OC).
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、角度的和差计算. 先利用正方形对角线平分内角的性质，求出，进而得到；再由CE=AC证明为等腰三角形，求出，最后结合三角形外角定理计算∠AFC的大小．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；分类讨论
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，
分两种情况：
当x是斜边时，，
当8是斜边时，，
综上可知，第三条边长为10或，
故选择：D
【分析】
本题考查勾股定理、直角三角形的性质、分类讨论思想. 核心是考虑“第三边为斜边、已知边为斜边”两种可能性，避免漏解，解题需明确直角三角形斜边的不同情况.
10．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，
，，
．
故答案为：D．
【分析】先根据实数在数轴上表示得到，进而化简绝对值和二次根式，从而即可求解。
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180° 150°）＝15°，∠OAF＝45° 15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理. 解题关键在于先结合正方形和等边三角形的性质，证明为等腰三角形，求出的度数，再推导，利用含角的直角三角形性质求AF，最后用勾股定理求OA，进而得到AB的长度.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°，
分两种情况讨论：
①当∠FED=90°时，如图1所示，
则∠CEF=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴FE=BC=3，
由折叠的性质得：CE=FE=3；
②当∠DFE=90°时，如图2所示，
在Rt△ABD中，∵AB=4，AD=3，
∴，
由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE，
∵∠DFE+∠EFB=180°，
∴点B、F、D共线，即点F在BD上，DF=BD-BF=5-3=2，
设FE=CE=x，则DE=4-x，
在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2，
∴x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5
即CE=1.5，
综上所述，CE的长为3或1.5．
故答案为：D．
【分析】由矩形性质得 CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°；分两种情形：①当∠FED=90°时，如图1，∠FEC=90°，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BCEF是矩形，由矩形对边相等得FE=BC=3，然后根据折叠可得CE=EF=3；②当∠DFE=90°时，如图2，先利用勾股定理算出BD=5，由折叠得 ∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE， 从而可判断出 点B、F、D共线，即点F在BD上， 利用线段和差算出DF=2， 设FE=CE=x，则DE=4-x， 在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出x的值即可得到CE的长，综上即可得出答案.
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】25
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积，
因此正方形的面积之和，
故答案为：25．
【分析】
本题考查勾股定理的几何意义、正方形的面积计算. 解题关键在于利用勾股定理的几何意义“直角三角形两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”，得出正方形A、B面积和等于E的面积，C、D面积和等于F的面积，进而推出四个小正方形面积和等于最大正方形G的面积，最终计算得面积和为.
15．【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形DFMH是正方形，
∴HM∥DF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：37．
【分析】由正方形对边平行得HM∥DF，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠CEG=67°，根据三角形外角性质得出∠AGE=∠CEG-∠A=37°，最后根据对顶角相等可得∠2的度数.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及有理数乘方运算法则分别计算，再计算加减法得出答案.
18．【答案】解：，
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式四则混合运算、平方差公式的应用. 解题关键在于遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，先利用二次根式除法法则计算除法项，再用平方差公式简化乘法项，最后合并同类二次根式.
19．【答案】解：原式
，
当 时，
原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
20．【答案】证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得，由二直线平行，内错角相等，从而用“SAS”证△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应角相等得，由邻补角及等角的补角相等得，最后根据内错角相等两直线平行得出AF∥CE.
21．【答案】解：连接BD，如图所示：
∵∠A=90°，
∴DB2=AB2+AD2=25，
∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2
∴∠DBC=90°，
∴S四边形 = ，
∴36×100=3600，
答：需投入3600元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵∠A=90°
∴DB2=AB2+AD2=25
∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2
∴∠DBC=90°
∴S四边形 = ，
∴36×100=3600
答：需投入3600元．
【分析】连接BD，先利用勾股定理的逆定理证出∠DBC=90°，再利用三角形的面积公式及割补法求出S四边形 = ，最后利用“总投入=每平米的费用×面积”列出算式求解即可.
22．【答案】解：∵是的垂直平分线，∴，
设，则，
在Rt中
，即
整理得：，
解得：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】本题以直角三角形为载体，考查线段垂直平分线的性质与勾股定理的综合应用. 解题核心是通过垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，得到AD=CD，再通过设未知数，在Rt中结合勾股定理列方程求解.
23．【答案】（1）解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，
故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
（2）C岛在A港的北偏西40°方向；理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的实际应用、勾股定理逆定理的应用、方位角的计算.（1）在Rt中用勾股定理计算BD，再在Rt中求AC，结合速度公式计算时间；
（2）用勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，结合方位角计算C岛的位置.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴OA=OC，BD=2OB=4，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由二直线平行内错角相等得，由角平分线定义得，由等量代换得，由等角对等边得，等量代换得到，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得证；
（2）由菱形的对角线互相平分得出OA=OC，BD=2OB=4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AC的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可算出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
25．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
（3）解：∵于P，于Q，
∴∠MPN=∠NQM=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PMQ=∠QNP=90°，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当时，四边形为正方形．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
当t为或时，四边形为正方形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的对边相等得出，然后由等腰直角三角形性质得AE=BE，从而根据勾股定理建立方程可求出AE的长；
（2）由路程、速度、时间三者的关系得AM=CN=t，由平行四边形的对边平行得出AM∥CN，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AMCN为平行四边形，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出当AN=CN时，四边形AMCN为菱形，由线段和差得EN=|6-t|，在Rt△AEN中，利用勾股定理建立方程可求出t的值；
（3）由垂直定义得∠MPN=∠NQM=90°，由二直线平行，同旁内角互补得∠PMQ=∠QNP=90°，从而由“四个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形MPNQ是矩形，进而根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得出则当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形；根据线段和差AQ=EN=6-t，QM=|2t-6|，由QN=AE=3建立方程，求解即可得出t的值.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
（3）解：∵于P，于Q，，
∴四边形为矩形，
∴当时，四边形为正方形．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
1 / 1

展开更多......

收起↑