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四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题(共10题，每小题4分，共40分)
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故B符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．的常数项是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：的常数项是，
故选：A．
【分析】根据多项式相关量的定义即可求出答案.
3．下列因式分解中，结果正确的是（　　）
A．2m2n-8n3=2n(m2-4n2) B．x2-4=(x+2)（x-2）
C． D．9a2-9b2=(3a+3b)(3a-3b)
【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
4．若，则下列各项一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
则一定成立的是，
故答案为：A．
【分析】根据不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐一判断得出答案.
5．如果三边，，满足，那么的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
∴的形状是等腰三角形，
故选：．
【分析】
本题考查非负数的性质（平方、算术平方根、绝对值）、等腰三角形的定义. 解题关键在于利用“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求出三边长，再根据等腰三角形定义判定形状.
6．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设该水果每千克的售价为元，
根据题意所列不等式为 ： 。
故答案为：B．
【分析】设该水果每千克的售价为元，根据 销售利润不低于， 即可得出不等式 ： 。
7．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故不等式组的解集是：
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴符合条件的所有整数m值的和为：，
故答案为：C．
【分析】将方程组中的两个方程相加可得x+y=m，结合x+y≤1得出m≤1；然后将m作为常数解不等式组，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据不等式组只有三个整数解可得出关于字母M的不等式组，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的取值范围，最后找出取值范围内的整数，求和即可.
8．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为（　　）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得得，，由三角形内角和可求出，由等角对等边得，根据勾股定理求得；用“HL”证Rt△BEQ≌Rt△BEP，由全等三角形的对应边相等得，由线段和差、等量代换求得．
9．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，；
③； ④若，则．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
得，，
得，，
∵x为正数，y为非负数，
∴，
解得：，故③不正确；
②当时，，
解得：，故②正确；
③时，方程组的解为：，
把，代入方程成立，故①正确；
④时，，
解得：，
又∵，
∴，
∴此时，
即，故④不正确；
综上分析可知：正确的有①②．
故答案为：A．
【分析】将a作为常数，用加减法解出方程组，用含a的式子表示出x、y，根据x为正数，y为非负数，列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围为-3＜a≤-1，据此可对③进行判断；由x=y列出关于字母a的方程，求解得出a的值，即可判断②；将a=-2原代入方程组的解求出x=1，y=2，再判断当x=1、y=2及a=-2方程x+y=5+a是否成立即可判断①；由x≤1得出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，再结合-3＜a≤-1确定出a的取值范围，进而根据不等式性质求出2≤-2a-2＜4，从而即可得出y的取值范围，据此可判断④.
10．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；正多边形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵△QKM是等边三角形，点E、D为QM与KM的三等分点，
∴60°=∠M，EM=DM=a，
∴△DEM为等边三角形，
∴ED=EM=，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故答案为：A．
【分析】连接AD、DB、DF，由正六边形性质得∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，由等边对等角及三角形内角和定理得 ∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， 由角的和差求出∠AFD=∠ABD=90°，根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△AFD，由全等三角形的对应角相等得出∠FAD=60°，由同旁内角互补两直线平行得出AD∥EF，再根据梯形中位线定理推出AD∥EF∥GI；根据等边三角形性质及三等分点定义及正六边形性质得出求出第一个正六边形的边长是a；过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，得出第二个等边三角形的边长是a；同理第二个正六边形的边长是第二个等边三角形GHI的边长的，……，求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分)
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．等腰三角形的顶角是，则底角为　 　°．
【答案】41
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
．
故答案为：41．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和为180°列式计算即可.
13．若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线不经过第二象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
14．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象可知函数和的图象交点，
∵，
∴，
观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是，即不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】由图象可得两函数图象交点坐标为P(-4，-2)，从图象角度看，求不等式 kx＞ax+b的解集就是求函数y=kx的图象位于函数y=ax+b的图象的上方部分对应的自变量的取值范围，结合交点坐标可得x的取值范围为x＞-4，又由于不等式(k-a)x＞b可变形为kx＞ax+b， 从而即可得出答案.
15．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；转化思想
【解析】【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，，如图所示，
则∠BAB'=∠PAP'=60°，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值就是的值，
即的最小值就是的值，
∵，，，
∴，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵△ACB'中，∠CAB'=∠CAB+∠BAB'=90°，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】以A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP'B'，旋转角是，连接BB'、PP'、CB'，由旋转性质得∠BAB'=∠PAP'=60°及B'A=BA，AP=AP'，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形，由等边三角形三边相等得AD=PP'，则PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC，由两点间线段最短得出PP'+P'B'+PC的最小值为B'C；由含30°直角三角形性质得BC=2，然后根据勾股定理算出AC，进而在Rt△ACB'中，利用勾股定理算出B'C即可得出答案.
三、解答题(共10小题，共90分)
16．（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据立方根定义及算术平方根定义计算开方，同时根据绝对值性质化简绝对值，最后计算加减法得出答案；
（2）先提取各项公因式a，然后根据平方差公式进行第二次分解，直至每一个因式都不能再分解为止.
17．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若，，求A的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
．
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项化简即可；
（2）将（1）计算的结果利用提取公因式法分解因式，再整体代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：，
．
18．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
（2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，.
（2）解：，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
此题考查平面直角坐标系中点的平移、割补法求图形面积.（1）根据A点的平移路径，确定的平移规律，画出平移后的图形并写出对应点坐标；
（2）由A点的坐标变化总结平移规律，推导任意点P的对应点坐标；
（3）利用割补法，将置于矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积，求出目标三角形的面积.
（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，；
（2），，
A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
19．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克．
（1）李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？
（2）若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？
（3）由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？
【答案】（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，
根据题意得：，
解方程得，
（千克）
答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克；
（2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得：
，
解不等式，得：，
答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克；
（3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得：
耙耙柑的总利润为：，
解不等式得：，
答：最低可以打8折．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设李老板购进柠檬x千克，则李老板购进耙耙柑为(3x+20)千克，根据单价乘以数量等于总价及购进x千克柠檬的费用+销售(3x+20)千克粑粑柑的费用=840，列出一元一次方程求出x的值，进而再计算出3x+20的值即可；
（2）设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据每千克利润乘以销售数量等于总利润及销售(50-y)千克柠檬的利润+销售y千克粑粑柑的利润不少于186元 ，列出一元一次不等式，求出最小解即可；
（3）设耙耙柑打m折销售，根据每千克利润乘以销售数量等于总利润及“销售耙耙柑的总利润不低于716元”，列出一元一次不等式，解不等式求出最小解即可.
（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，
根据题意得：，
解方程得，
（千克）
答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克；
（2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得：
，
解不等式，得：，
答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克；
（3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得：
耙耙柑的总利润为：，
解不等式得：，
答：最低可以打8折．
20．如图，在中，，交于点，，交于点．
（1）求证：平分；
（2）延长交于点，若平分，求证：点是的中点．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴平分．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，由二直线平行，内错角相等得出，则，从而根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据角平分线定义得出，根据二直线平行，内错角相等得出，则，根据等角对等边得出，结合已知，由等量代换得出，由中点定义得出结论即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴平分．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为9．
（1）求一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，解得：，
，
的图象经过点和，
∴
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：当时，自变量的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特点，将y=9代入y2=-1.5x算出对应的x的值，可得点C的坐标，然后将点B、C的坐标分别代入y1=kx+b建立出关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而即可求出一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求y1＞y2＞0时，自变量x的取值范围，就是求函数y1图象BC段相应的自变量的取值范围，不包括B、C两点.
（1）解：当时，，
解得：，
，
的图象经过点和，
∴
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
22．在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
23．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”
（3）已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示）
【答案】（1）解：a，b的“如意数”c为5；
（2）解：当时，
；
∵，
∵，
∴．
（3）
【知识点】整式的混合运算；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：当时，；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：x+2.
【分析】（1）把a=1，b=2代入c=ab+a+b根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可；
（2）把a=m-2，b=-m代入c=ab+a+b，结合整式的混合运算法则进行计算，进而利用配方法将c所表示的整式变形为(x+n)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性进行证明即可；
（3）将a=x2-1，c=x3+3x2-1代入c=ab+a+b，结合整式的混合运算法则化简得bx2=x3+2x2，然后等式两边同时除以x2，即可求出b的值.
（1）解：当时，；
（2）当时，
；
∵，
∵，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，
∴．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点．直线：与直线交于点C．且C的横坐标为
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当= 时，求的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿着直线向上平移，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标
【答案】（1）解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为，
，
，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，则，，
∵，
，
，
；
（3）解：点G的坐标为或或或.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：由（2）得，，
，
，
，
作轴，交直线于H，
∵直线的解析式为，
∴，
，
，
，
，
将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．
，即，
；
设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，或，如图中点，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或（舍），图中点，
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，图中点，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或.
【分析】（1）将x=代入y=2x算出对应的y的值，可得点C的坐标，再将点B、C的坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到直线l1的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设点的坐标为，则，由两点间距离公式表示出PD，根据三角形面积公式，结合建立方程，求解即可；
（3）结合（2）的结论先求出点P的坐标，作AH⊥x轴，交直线l2于点H，根据直线与x轴交点坐标特点求出点A的坐标，进而根据点的坐标与图形性质求出点H的坐标，由两点间距离公式求出AH的长，再根据点的平移写出点F的坐标，再根据两点间的距离公式求出AF的长；设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论：①当AF=AG时，②当AF=FG时，③当FG=AG时，分别建立方程，求解得出t的值，从而即可求出点G的坐标.
（1）解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为，
，
，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
则，，
∵，
，
，
；
（3）解：由（2）得，，
，
，
，
作轴，交直线于H，
∵直线的解析式为，
∴，
，
，
，
，
将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．
，即，
；
设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，或，如图中点，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或（舍），图中点，
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，图中点，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
25．（1）阅读理解：如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______；
（2）类比探究：如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．
【答案】（1）；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由角的构成及等量代换可推出，通过“”证明，由全等三角形的对应边相等即可得到，进而根据线段和差及等量代换即可得到答案；
（2）将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AFB，连接DF，由等边三角形性质及旋转的性质可得，，，，由角的构成及等量代换推出∠FAD=∠DAE，从而用“SAS”证明△ADF≌△ADE，由全等三角形的对应边相等得到；过点F作交的延长线于点，求得，再由含30°角直角三角形性质的粗BH=4，进而利用勾股定理求出HF、DF，即可得出答案；
（3）当时，如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABF，连接，过点作，交于点，由等边对等角及三角形内角和定理可得，，，由邻补角求得，由旋转的性质可得，，，，，由角的构成、等量代换推出∠ADE=∠DAE=75°，用“SAS”证明△ADE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得，由角的构成求得=30°，哟等角对等边得到，由等腰直角三角形的三角形合一和得，由勾股定理得，即可得到的比值，当时，同理即可求得．
1 / 1四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题(共10题，每小题4分，共40分)
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．的常数项是（　　）
A． B． C．1 D．2
3．下列因式分解中，结果正确的是（　　）
A．2m2n-8n3=2n(m2-4n2) B．x2-4=(x+2)（x-2）
C． D．9a2-9b2=(3a+3b)(3a-3b)
4．若，则下列各项一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．如果三边，，满足，那么的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（　　）
A． B．
C． D．
7．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A．12 B．6 C． D．
8．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为（　　）
A．4 B． C．8 D．
9．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，；
③； ④若，则．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
10．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分)
11．因式分解：　 　．
12．等腰三角形的顶角是，则底角为　 　°．
13．若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是　 　．
14．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是　 　．
15．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为　 　．
三、解答题(共10小题，共90分)
16．（1）计算：
（2）分解因式：
17．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若，，求A的值．
18．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
（2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
（3）求三角形的面积．
19．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克．
（1）李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？
（2）若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？
（3）由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？
20．如图，在中，，交于点，，交于点．
（1）求证：平分；
（2）延长交于点，若平分，求证：点是的中点．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为9．
（1）求一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
22．在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
23．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”
（3）已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示）
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点．直线：与直线交于点C．且C的横坐标为
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当= 时，求的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿着直线向上平移，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标
25．（1）阅读理解：如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______；
（2）类比探究：如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故B符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：的常数项是，
故选：A．
【分析】根据多项式相关量的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
则一定成立的是，
故答案为：A．
【分析】根据不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
∴的形状是等腰三角形，
故选：．
【分析】
本题考查非负数的性质（平方、算术平方根、绝对值）、等腰三角形的定义. 解题关键在于利用“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求出三边长，再根据等腰三角形定义判定形状.
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设该水果每千克的售价为元，
根据题意所列不等式为 ： 。
故答案为：B．
【分析】设该水果每千克的售价为元，根据 销售利润不低于， 即可得出不等式 ： 。
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故不等式组的解集是：
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴符合条件的所有整数m值的和为：，
故答案为：C．
【分析】将方程组中的两个方程相加可得x+y=m，结合x+y≤1得出m≤1；然后将m作为常数解不等式组，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据不等式组只有三个整数解可得出关于字母M的不等式组，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的取值范围，最后找出取值范围内的整数，求和即可.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得得，，由三角形内角和可求出，由等角对等边得，根据勾股定理求得；用“HL”证Rt△BEQ≌Rt△BEP，由全等三角形的对应边相等得，由线段和差、等量代换求得．
9．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
得，，
得，，
∵x为正数，y为非负数，
∴，
解得：，故③不正确；
②当时，，
解得：，故②正确；
③时，方程组的解为：，
把，代入方程成立，故①正确；
④时，，
解得：，
又∵，
∴，
∴此时，
即，故④不正确；
综上分析可知：正确的有①②．
故答案为：A．
【分析】将a作为常数，用加减法解出方程组，用含a的式子表示出x、y，根据x为正数，y为非负数，列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围为-3＜a≤-1，据此可对③进行判断；由x=y列出关于字母a的方程，求解得出a的值，即可判断②；将a=-2原代入方程组的解求出x=1，y=2，再判断当x=1、y=2及a=-2方程x+y=5+a是否成立即可判断①；由x≤1得出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，再结合-3＜a≤-1确定出a的取值范围，进而根据不等式性质求出2≤-2a-2＜4，从而即可得出y的取值范围，据此可判断④.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；正多边形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵△QKM是等边三角形，点E、D为QM与KM的三等分点，
∴60°=∠M，EM=DM=a，
∴△DEM为等边三角形，
∴ED=EM=，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故答案为：A．
【分析】连接AD、DB、DF，由正六边形性质得∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，由等边对等角及三角形内角和定理得 ∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， 由角的和差求出∠AFD=∠ABD=90°，根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△AFD，由全等三角形的对应角相等得出∠FAD=60°，由同旁内角互补两直线平行得出AD∥EF，再根据梯形中位线定理推出AD∥EF∥GI；根据等边三角形性质及三等分点定义及正六边形性质得出求出第一个正六边形的边长是a；过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，得出第二个等边三角形的边长是a；同理第二个正六边形的边长是第二个等边三角形GHI的边长的，……，求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】41
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
．
故答案为：41．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和为180°列式计算即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线不经过第二象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象可知函数和的图象交点，
∵，
∴，
观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是，即不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】由图象可得两函数图象交点坐标为P(-4，-2)，从图象角度看，求不等式 kx＞ax+b的解集就是求函数y=kx的图象位于函数y=ax+b的图象的上方部分对应的自变量的取值范围，结合交点坐标可得x的取值范围为x＞-4，又由于不等式(k-a)x＞b可变形为kx＞ax+b， 从而即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；转化思想
【解析】【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，，如图所示，
则∠BAB'=∠PAP'=60°，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值就是的值，
即的最小值就是的值，
∵，，，
∴，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵△ACB'中，∠CAB'=∠CAB+∠BAB'=90°，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】以A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP'B'，旋转角是，连接BB'、PP'、CB'，由旋转性质得∠BAB'=∠PAP'=60°及B'A=BA，AP=AP'，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形，由等边三角形三边相等得AD=PP'，则PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC，由两点间线段最短得出PP'+P'B'+PC的最小值为B'C；由含30°直角三角形性质得BC=2，然后根据勾股定理算出AC，进而在Rt△ACB'中，利用勾股定理算出B'C即可得出答案.
16．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据立方根定义及算术平方根定义计算开方，同时根据绝对值性质化简绝对值，最后计算加减法得出答案；
（2）先提取各项公因式a，然后根据平方差公式进行第二次分解，直至每一个因式都不能再分解为止.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
．
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项化简即可；
（2）将（1）计算的结果利用提取公因式法分解因式，再整体代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：，
．
18．【答案】（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，.
（2）解：，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
此题考查平面直角坐标系中点的平移、割补法求图形面积.（1）根据A点的平移路径，确定的平移规律，画出平移后的图形并写出对应点坐标；
（2）由A点的坐标变化总结平移规律，推导任意点P的对应点坐标；
（3）利用割补法，将置于矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积，求出目标三角形的面积.
（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，；
（2），，
A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
19．【答案】（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，
根据题意得：，
解方程得，
（千克）
答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克；
（2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得：
，
解不等式，得：，
答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克；
（3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得：
耙耙柑的总利润为：，
解不等式得：，
答：最低可以打8折．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设李老板购进柠檬x千克，则李老板购进耙耙柑为(3x+20)千克，根据单价乘以数量等于总价及购进x千克柠檬的费用+销售(3x+20)千克粑粑柑的费用=840，列出一元一次方程求出x的值，进而再计算出3x+20的值即可；
（2）设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据每千克利润乘以销售数量等于总利润及销售(50-y)千克柠檬的利润+销售y千克粑粑柑的利润不少于186元 ，列出一元一次不等式，求出最小解即可；
（3）设耙耙柑打m折销售，根据每千克利润乘以销售数量等于总利润及“销售耙耙柑的总利润不低于716元”，列出一元一次不等式，解不等式求出最小解即可.
（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，
根据题意得：，
解方程得，
（千克）
答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克；
（2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得：
，
解不等式，得：，
答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克；
（3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得：
耙耙柑的总利润为：，
解不等式得：，
答：最低可以打8折．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴平分．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，由二直线平行，内错角相等得出，则，从而根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据角平分线定义得出，根据二直线平行，内错角相等得出，则，根据等角对等边得出，结合已知，由等量代换得出，由中点定义得出结论即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴平分．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点．
21．【答案】（1）解：当时，，解得：，
，
的图象经过点和，
∴
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：当时，自变量的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特点，将y=9代入y2=-1.5x算出对应的x的值，可得点C的坐标，然后将点B、C的坐标分别代入y1=kx+b建立出关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而即可求出一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求y1＞y2＞0时，自变量x的取值范围，就是求函数y1图象BC段相应的自变量的取值范围，不包括B、C两点.
（1）解：当时，，
解得：，
，
的图象经过点和，
∴
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
22．【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
23．【答案】（1）解：a，b的“如意数”c为5；
（2）解：当时，
；
∵，
∵，
∴．
（3）
【知识点】整式的混合运算；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：当时，；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：x+2.
【分析】（1）把a=1，b=2代入c=ab+a+b根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可；
（2）把a=m-2，b=-m代入c=ab+a+b，结合整式的混合运算法则进行计算，进而利用配方法将c所表示的整式变形为(x+n)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性进行证明即可；
（3）将a=x2-1，c=x3+3x2-1代入c=ab+a+b，结合整式的混合运算法则化简得bx2=x3+2x2，然后等式两边同时除以x2，即可求出b的值.
（1）解：当时，；
（2）当时，
；
∵，
∵，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为，
，
，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，则，，
∵，
，
，
；
（3）解：点G的坐标为或或或.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：由（2）得，，
，
，
，
作轴，交直线于H，
∵直线的解析式为，
∴，
，
，
，
，
将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．
，即，
；
设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，或，如图中点，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或（舍），图中点，
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，图中点，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或.
【分析】（1）将x=代入y=2x算出对应的y的值，可得点C的坐标，再将点B、C的坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到直线l1的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设点的坐标为，则，由两点间距离公式表示出PD，根据三角形面积公式，结合建立方程，求解即可；
（3）结合（2）的结论先求出点P的坐标，作AH⊥x轴，交直线l2于点H，根据直线与x轴交点坐标特点求出点A的坐标，进而根据点的坐标与图形性质求出点H的坐标，由两点间距离公式求出AH的长，再根据点的平移写出点F的坐标，再根据两点间的距离公式求出AF的长；设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论：①当AF=AG时，②当AF=FG时，③当FG=AG时，分别建立方程，求解得出t的值，从而即可求出点G的坐标.
（1）解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为，
，
，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
则，，
∵，
，
，
；
（3）解：由（2）得，，
，
，
，
作轴，交直线于H，
∵直线的解析式为，
∴，
，
，
，
，
将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．
，即，
；
设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，或，如图中点，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或（舍），图中点，
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，图中点，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
25．【答案】（1）；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由角的构成及等量代换可推出，通过“”证明，由全等三角形的对应边相等即可得到，进而根据线段和差及等量代换即可得到答案；
（2）将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AFB，连接DF，由等边三角形性质及旋转的性质可得，，，，由角的构成及等量代换推出∠FAD=∠DAE，从而用“SAS”证明△ADF≌△ADE，由全等三角形的对应边相等得到；过点F作交的延长线于点，求得，再由含30°角直角三角形性质的粗BH=4，进而利用勾股定理求出HF、DF，即可得出答案；
（3）当时，如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABF，连接，过点作，交于点，由等边对等角及三角形内角和定理可得，，，由邻补角求得，由旋转的性质可得，，，，，由角的构成、等量代换推出∠ADE=∠DAE=75°，用“SAS”证明△ADE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得，由角的构成求得=30°，哟等角对等边得到，由等腰直角三角形的三角形合一和得，由勾股定理得，即可得到的比值，当时，同理即可求得．
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