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四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年七年级下学期4月半期数学考试
一、单选题（每题3分，共36分）
1．的平方根是（　　）
A． B． C． D．
2．下列实数中的无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
3．若，下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各点中，位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．平行于同一直线的两直线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．若不是负数，则一定大于0
D．等角的补角相等
7．如图，台阶的宽度为2米，其高度AC＝3米，水平距离BC＝4米，现要在台阶上铺满地毯，则地毯的面积为（ ）平方米
A．6 B．12 C．14 D．16
8．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，如果“炮”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“仕”所在位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（共12分）
13．比较大小： 　 　7．（填“>”“<”或“=”）
14．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
15．已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则的度数为　 　．
16．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的坐标为　 　．
三、解答题（共72分）
17．计算：
18．解方程组：
19．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
20．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD//BE．
证明：∵∠3＝∠4（　 　）
且∠4＝∠AFD（　 　）
∴∠3＝∠AFD
在△ABC中，∠1+∠B+∠3＝180°
在△ADF中，　 　＝180°
∵∠1＝∠2，∠3＝∠AFD
∴∠B＝∠D（　 　）
∵AB//CD
∴∠B＝∠DCE（　 　）
∴　 　（等量代换）
∴AD//BE（　 　）
21．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，．根据信息，解答下列问题：
（1）将向下平移4个单位得到，并画出；
（2）直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
22．如图，，，
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
23．目前，新型冠状肺炎病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某学校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共5550元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1320人，平均每人每天至少需使用的免洗手消毒液，则这批消毒液最多可使用多少天？
24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①-②，得，即③，
．得④，
②-④，得，从而可得，
∴原方程组的解是
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：
（2）请直接写出关于x，y的方程组的解．
25．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为）
（1）若三角板如图1摆放时，则___________，___________；
（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数；
（3）现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设 x 为 的平方根，则根据平方根的定义，有 x2 =。
对方程两边开平方，得 x =。
计算，
因此 x =。
故选：C．
【分析】本题主要考查平方根的定义及其性质，重点在于理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数，且需注意平方根与算术平方根的区别。
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
0是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
故选：C
【分析】
无理数即无限不循环小数，常见的无理数有三种形式，一是开不尽方的数，二是的和差倍积，三是小数部分有一定的规律但仍无限不循环的小数．
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A ：(-8，1)，横坐标 -8<0，纵坐标 1>0，在第二象限；B ：(6，0)，纵坐标为 0，在 x 轴正半轴上，不属于任何象限；
C ：(， -3)，>0，-3<0，在第四象限；
D ：(0，-2)，横坐标为 0，在 y 轴负半轴上，不属于任何象限。
故选：C．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征。解题的关键在于准确记忆各象限的符号规律：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负），并注意坐标轴上的点不属于任何象限。对于每个选项，需分别判断其横纵坐标的正负情况，从而确定该点所在的象限或位置，最终筛选出符合第四象限条件的点。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
故A正确，不符合题意；
，
∴（同位角相等，两直线平行）
故B不正确，符合题意；
∴（内错角相等，两直线平行）
故C正确，不符合题意；
，
（同旁内角互补，两直线平行）
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
平行线的判定，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A. 平行于同一直线的两直线应互相平行，而非垂直，故为假命题。B. 仅当两直线平行时，被第三条直线所截的同位角才相等，故为假命题。
C. 若a不是负数，则a可为0或正数，不一定大于0，故为假命题。
D. 等角的补角相等，符合补角定义，为真命题。
故选：D．
【分析】本题考查命题真假的判断，需结合平行线的性质、有理数的分类及补角的定义逐一分析选项：平行于同一直线的两直线互相平行，故A错误；只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故B错误；若a不是负数，则a可以是0或正数，不一定大于0，故C错误；根据补角的定义，等角的补角相等，故D正确。
7．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵台阶的宽度为2米，高度AC＝3米，水平距离BC＝4米，
∴地毯面积为：（3+4）×2=14（平方米）．
故答案为：C．
【分析】根据台阶的宽度，高度，水平距离，列出算式求解．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，记的交点为，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
故选：D．
【分析】本题考查折叠问题中角度关系的探究，涉及三角形内角和定理及对顶角性质。记 AE 与 CD 的交点为 F，由折叠知 AED = A'ED，利用三角形内角和及平角定义分别表示 CFE，通过等量代换消去中间变量，整理可得 2 A =1 -2。
9．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，
∵“炮”所在位置的坐标为，
∴“仕”所在位置的坐标为（-1，-2），
故答案为：A．
【分析】先根据”炮“所在位置的坐标确定平面直角坐标系，从而得出“仕”所在位置．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
11．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，min{、x、} =，且x0。 当时，此时最小值为。
令=，解得x =（舍负值），符合题意。
当x1时，，此时最小值为。
令=，解得x =，但x 1，故舍去。
综上，x =。
故选：B
【分析】本题考查实数大小比较与函数性质的应用，解题关键在于根据x的取值范围分类讨论、x、的大小关系。需分0x < 1和x 1两种情况，结合“最小值为”的条件，分别分析哪个表达式取到最小值，再求解x并验证是否符合取值范围。通过分类讨论，确保所有可能情况都被覆盖，最终确定符合条件的x值。
12．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作于点N，如图所示：
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵在和中，
∴，
∴，故⑤正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的有4个，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及角度计算，需通过作辅助线构造几何关系。过点 A 作 AN BC，结合等腰三角形三线合一及已知 A = 2 DEF 可证 EG AN，从而得 EG BC，判断③正确；由 BDAC 及同角的余角相等证得 DEF = CBD，①正确；证明得 BF = CE，⑤正确；由 EG = BG 且 EGBC 得EBG = 45，结合角平分线得ABE + CBD = 45，②正确；通过角度比较得，故，④错误。综上，一定成立的有4个。
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用平方法，由于两数均为正数，根据正数越大其平方后的幂就越大，进行比较即可.
14．【答案】-3
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得，5x+5y=2k+1，
整理得，，
方程组的解满足x+y=-1，
，
解得：k=-3．
故答案为：-3．
【分析】将方程组两个方程相加得到5x+5y=2k+1，整理得到，结合方程组的解满足x+y=-1，得到关于k的方程，解出k的值即可．
15．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：延长交直线a于C．
∵
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角性质及三角板特殊角的应用。延长 AB 交直线 a 于点 C，由 ab 得1 = 2。根据三角形外角等于不相邻两内角之和，得 2 =CDB + CBD = 30 + 45= 75，故 1 = 75。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：由 A(-3，0)，B(0，4)，得 OA=3，OB=4，
在 Rt△ OAB 中，AB ==5。
对△OAB 连续作旋转变换：
由 △OAB 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到，直角顶点为 B(0，4)；
由绕点 A 旋转得到，直角顶点坐标为 (4，4)；
由 绕点 O' 旋转得到，直角顶点坐标为 (7，0)；
与形状相同，位置向右平移 12 个单位，直角顶点 (12，4)。
观察可知，每 3 个三角形为一个循环，一个循环内直角顶点横坐标增加 12，纵坐标依次为 4，4，0。
周期 T=3，2025 3 = 675 余 0，对应循环中第 3 个三角形，纵坐标为 0。
一个循环横坐标增加 12，则 675 个循环横坐标增加 67512 = 8100，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的旋转变换规律，涉及勾股定理、坐标变化与周期性问题。解题关键在于观察每次旋转后三角形的位置变化，找出三角形“直角顶点”的坐标变化周期。通过分析连续旋转的过程，可以发现每三次旋转为一个循环，三角形整体向右平移一段固定距离，因此只需确定一个周期内平移的距离，再结合周期数计算出第 2025 个三角形的直角顶点坐标。重点是将旋转变换的几何规律转化为坐标的代数规律。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根、立方根进行化简，然后再进行有理数的乘法运算，最后进行有理数的减法运算．
18．【答案】解：用①-②×2得：，解得，把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点在于消元思想的应用，具体考查了加减消元法。先观察方程组中两个方程未知数的系数特点，发现第二个方程乘以 2 后，x 的系数与第一个方程中 x 的系数相同，因此选择将②×2 后与①相减，消去未知数 x，得到关于 y 的一元一次方程。解出 y 后，将其代入原方程组中系数较为简单的方程（如①），求出 x 的值，最后写出方程组的解。
19．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为 2，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根以及相反数的性质列出关于a的方程求出a，根据立方根的定义列出关于b的方程求出b；（2）先求出5a-b，然后根据算术平方根的定义进行计算即可.
20．【答案】已知；对顶角相等；∠2+∠D+∠AFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知）
且∠4＝∠AFD（对顶角相等）
∴∠3＝∠AFD，
在△ABC中，∠1+∠B+∠3＝180°，
在△ADF中，∠2+∠D+∠AFD＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠AFD，
∴∠B＝∠D（等式的性质），
∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）
∴∠D＝∠DCE（等量代换），
∴AD//BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；对顶角相等；∠2+∠D+∠AFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】由对顶角相等可推出∠3＝∠AFD，根据三角形的内角和定理及等式的性质可推出∠B＝∠D，由两直线平行，同位角相等，可得∠B＝∠DCE，进而根据等量代换得∠D＝∠DCE，最后根据内错角相等，两直线平行，可得结论.
21．【答案】（1）解：作图如图所示为所求；
（2），，
（3）解：∵
∴的面积为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）根据平面直角坐标系可得，，，故答案为：，，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（2）根据平面直角坐标系直接求出点的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
（1）作图如图所示为所求；
（2）根据平面直角坐标系可得，，
（3）∵
∴的面积为．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种消毒液购买90瓶，乙种消毒液购买210瓶；
（2）解：设这批消毒液可使用a天，
由题意可得：，
解得：，
答：这批消毒液可使用10天．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用与一元一次方程在实际问题中的应用。
（1）设甲、乙分别购买 x、y 瓶，根据总瓶数 300 与总费用 5550 列出方程组，解得 x=90，y=210。
（2）设可使用 a 天，全校师生每日总用量为 1320 10 a 毫升，等于甲、乙消毒液总毫升数 90300 + 500210，解得 a=10。
（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种消毒液购买90瓶，乙种消毒液购买210瓶；
（2）解：设这批消毒液可使用a天，
由题意可得：，
解得：，
答：这批消毒液可使用10天．
24．【答案】（1）解：，①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2021得，2021x+2021y=2021④，
④-②得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解是；
（2）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（2）解：，
①-②，得（a-b）x+（a-b）y=a-b，即x+y=1③，
③×（a+2）得，（a+2）x+（a+2）y=a+2④，
④-①得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解为．
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，通过观察系数特征简化运算。
（1）将两方程相减得 2x + 2y = 2，即 x + y = 1，再利用加减消元法求出 x = -1，y = 2。
（2）同理，两方程相减得 (a - b)x + (a - b)y = a - b，因 ab 两边除以 a - b 得 x + y = 1，再与任一方程联立解得 x = -1，y = 2，解与参数 a， b 无关。
（1）解：，
①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2021得，2021x+2021y=2021④，
④-②得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
①-②，得（a-b）x+（a-b）y=a-b，即x+y=1③，
③×（a+2）得，（a+2）x+（a+2）y=a+2④，
④-①得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解为．
25．【答案】（1）、
（2）解：∵，∴，
∴，
∵和的角平分线交于点，，
∴，
∴
（3）满足条件的t的值为或或．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】（1）解：如图：过E作，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
故答案为：、
（3）解：如图3-1，当时，此时，
∴，
∴，
∴；
如图3-2，当时，此时，
∴，
∴；
如图3-3，当时，此时，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义及旋转中的分类讨论。
（1）过点 E 作 EG MN，由平行线性质得 GEA = 30，进而得= 15；利用三角形内角和及邻补角得 = 135。
（2）由 PQ MN 得AEG = 30，利用外角性质得 QGF = 75，结合角平分线求出 HFG = 37.5、 HFG = 67.5，再由三角形内角和得GHF = 75。
（3）分三种情况：BC DE、BCEF、BCDF，分别利用平行线性质求出旋转角 BAM，再除以旋转速度 3/s 得 t = 15s 或 30s 或 45s。
（1）解：如图：过E作，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
故答案为：、
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵和的角平分线交于点，，
∴，
∴
（3）解：如图3-1，当时，此时，
∴，
∴，
∴；
如图3-2，当时，此时，
∴，
∴；
如图3-3，当时，此时，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或或．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年七年级下学期4月半期数学考试
一、单选题（每题3分，共36分）
1．的平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设 x 为 的平方根，则根据平方根的定义，有 x2 =。
对方程两边开平方，得 x =。
计算，
因此 x =。
故选：C．
【分析】本题主要考查平方根的定义及其性质，重点在于理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数，且需注意平方根与算术平方根的区别。
2．下列实数中的无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
0是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
故选：C
【分析】
无理数即无限不循环小数，常见的无理数有三种形式，一是开不尽方的数，二是的和差倍积，三是小数部分有一定的规律但仍无限不循环的小数．
3．若，下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
4．下列各点中，位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A ：(-8，1)，横坐标 -8<0，纵坐标 1>0，在第二象限；B ：(6，0)，纵坐标为 0，在 x 轴正半轴上，不属于任何象限；
C ：(， -3)，>0，-3<0，在第四象限；
D ：(0，-2)，横坐标为 0，在 y 轴负半轴上，不属于任何象限。
故选：C．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征。解题的关键在于准确记忆各象限的符号规律：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负），并注意坐标轴上的点不属于任何象限。对于每个选项，需分别判断其横纵坐标的正负情况，从而确定该点所在的象限或位置，最终筛选出符合第四象限条件的点。
5．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
故A正确，不符合题意；
，
∴（同位角相等，两直线平行）
故B不正确，符合题意；
∴（内错角相等，两直线平行）
故C正确，不符合题意；
，
（同旁内角互补，两直线平行）
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
平行线的判定，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．平行于同一直线的两直线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．若不是负数，则一定大于0
D．等角的补角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A. 平行于同一直线的两直线应互相平行，而非垂直，故为假命题。B. 仅当两直线平行时，被第三条直线所截的同位角才相等，故为假命题。
C. 若a不是负数，则a可为0或正数，不一定大于0，故为假命题。
D. 等角的补角相等，符合补角定义，为真命题。
故选：D．
【分析】本题考查命题真假的判断，需结合平行线的性质、有理数的分类及补角的定义逐一分析选项：平行于同一直线的两直线互相平行，故A错误；只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故B错误；若a不是负数，则a可以是0或正数，不一定大于0，故C错误；根据补角的定义，等角的补角相等，故D正确。
7．如图，台阶的宽度为2米，其高度AC＝3米，水平距离BC＝4米，现要在台阶上铺满地毯，则地毯的面积为（ ）平方米
A．6 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵台阶的宽度为2米，高度AC＝3米，水平距离BC＝4米，
∴地毯面积为：（3+4）×2=14（平方米）．
故答案为：C．
【分析】根据台阶的宽度，高度，水平距离，列出算式求解．
8．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，记的交点为，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
故选：D．
【分析】本题考查折叠问题中角度关系的探究，涉及三角形内角和定理及对顶角性质。记 AE 与 CD 的交点为 F，由折叠知 AED = A'ED，利用三角形内角和及平角定义分别表示 CFE，通过等量代换消去中间变量，整理可得 2 A =1 -2。
9．如图，如果“炮”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“仕”所在位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，
∵“炮”所在位置的坐标为，
∴“仕”所在位置的坐标为（-1，-2），
故答案为：A．
【分析】先根据”炮“所在位置的坐标确定平面直角坐标系，从而得出“仕”所在位置．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
11．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，min{、x、} =，且x0。 当时，此时最小值为。
令=，解得x =（舍负值），符合题意。
当x1时，，此时最小值为。
令=，解得x =，但x 1，故舍去。
综上，x =。
故选：B
【分析】本题考查实数大小比较与函数性质的应用，解题关键在于根据x的取值范围分类讨论、x、的大小关系。需分0x < 1和x 1两种情况，结合“最小值为”的条件，分别分析哪个表达式取到最小值，再求解x并验证是否符合取值范围。通过分类讨论，确保所有可能情况都被覆盖，最终确定符合条件的x值。
12．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作于点N，如图所示：
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵在和中，
∴，
∴，故⑤正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的有4个，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及角度计算，需通过作辅助线构造几何关系。过点 A 作 AN BC，结合等腰三角形三线合一及已知 A = 2 DEF 可证 EG AN，从而得 EG BC，判断③正确；由 BDAC 及同角的余角相等证得 DEF = CBD，①正确；证明得 BF = CE，⑤正确；由 EG = BG 且 EGBC 得EBG = 45，结合角平分线得ABE + CBD = 45，②正确；通过角度比较得，故，④错误。综上，一定成立的有4个。
二、填空题（共12分）
13．比较大小： 　 　7．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用平方法，由于两数均为正数，根据正数越大其平方后的幂就越大，进行比较即可.
14．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】-3
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得，5x+5y=2k+1，
整理得，，
方程组的解满足x+y=-1，
，
解得：k=-3．
故答案为：-3．
【分析】将方程组两个方程相加得到5x+5y=2k+1，整理得到，结合方程组的解满足x+y=-1，得到关于k的方程，解出k的值即可．
15．已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：延长交直线a于C．
∵
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角性质及三角板特殊角的应用。延长 AB 交直线 a 于点 C，由 ab 得1 = 2。根据三角形外角等于不相邻两内角之和，得 2 =CDB + CBD = 30 + 45= 75，故 1 = 75。
16．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：由 A(-3，0)，B(0，4)，得 OA=3，OB=4，
在 Rt△ OAB 中，AB ==5。
对△OAB 连续作旋转变换：
由 △OAB 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到，直角顶点为 B(0，4)；
由绕点 A 旋转得到，直角顶点坐标为 (4，4)；
由 绕点 O' 旋转得到，直角顶点坐标为 (7，0)；
与形状相同，位置向右平移 12 个单位，直角顶点 (12，4)。
观察可知，每 3 个三角形为一个循环，一个循环内直角顶点横坐标增加 12，纵坐标依次为 4，4，0。
周期 T=3，2025 3 = 675 余 0，对应循环中第 3 个三角形，纵坐标为 0。
一个循环横坐标增加 12，则 675 个循环横坐标增加 67512 = 8100，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的旋转变换规律，涉及勾股定理、坐标变化与周期性问题。解题关键在于观察每次旋转后三角形的位置变化，找出三角形“直角顶点”的坐标变化周期。通过分析连续旋转的过程，可以发现每三次旋转为一个循环，三角形整体向右平移一段固定距离，因此只需确定一个周期内平移的距离，再结合周期数计算出第 2025 个三角形的直角顶点坐标。重点是将旋转变换的几何规律转化为坐标的代数规律。
三、解答题（共72分）
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根、立方根进行化简，然后再进行有理数的乘法运算，最后进行有理数的减法运算．
18．解方程组：
【答案】解：用①-②×2得：，解得，把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点在于消元思想的应用，具体考查了加减消元法。先观察方程组中两个方程未知数的系数特点，发现第二个方程乘以 2 后，x 的系数与第一个方程中 x 的系数相同，因此选择将②×2 后与①相减，消去未知数 x，得到关于 y 的一元一次方程。解出 y 后，将其代入原方程组中系数较为简单的方程（如①），求出 x 的值，最后写出方程组的解。
19．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为 2，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根以及相反数的性质列出关于a的方程求出a，根据立方根的定义列出关于b的方程求出b；（2）先求出5a-b，然后根据算术平方根的定义进行计算即可.
20．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD//BE．
证明：∵∠3＝∠4（　 　）
且∠4＝∠AFD（　 　）
∴∠3＝∠AFD
在△ABC中，∠1+∠B+∠3＝180°
在△ADF中，　 　＝180°
∵∠1＝∠2，∠3＝∠AFD
∴∠B＝∠D（　 　）
∵AB//CD
∴∠B＝∠DCE（　 　）
∴　 　（等量代换）
∴AD//BE（　 　）
【答案】已知；对顶角相等；∠2+∠D+∠AFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知）
且∠4＝∠AFD（对顶角相等）
∴∠3＝∠AFD，
在△ABC中，∠1+∠B+∠3＝180°，
在△ADF中，∠2+∠D+∠AFD＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠AFD，
∴∠B＝∠D（等式的性质），
∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）
∴∠D＝∠DCE（等量代换），
∴AD//BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；对顶角相等；∠2+∠D+∠AFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】由对顶角相等可推出∠3＝∠AFD，根据三角形的内角和定理及等式的性质可推出∠B＝∠D，由两直线平行，同位角相等，可得∠B＝∠DCE，进而根据等量代换得∠D＝∠DCE，最后根据内错角相等，两直线平行，可得结论.
21．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，．根据信息，解答下列问题：
（1）将向下平移4个单位得到，并画出；
（2）直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：作图如图所示为所求；
（2），，
（3）解：∵
∴的面积为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）根据平面直角坐标系可得，，，故答案为：，，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（2）根据平面直角坐标系直接求出点的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
（1）作图如图所示为所求；
（2）根据平面直角坐标系可得，，
（3）∵
∴的面积为．
22．如图，，，
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
23．目前，新型冠状肺炎病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某学校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共5550元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1320人，平均每人每天至少需使用的免洗手消毒液，则这批消毒液最多可使用多少天？
【答案】（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种消毒液购买90瓶，乙种消毒液购买210瓶；
（2）解：设这批消毒液可使用a天，
由题意可得：，
解得：，
答：这批消毒液可使用10天．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用与一元一次方程在实际问题中的应用。
（1）设甲、乙分别购买 x、y 瓶，根据总瓶数 300 与总费用 5550 列出方程组，解得 x=90，y=210。
（2）设可使用 a 天，全校师生每日总用量为 1320 10 a 毫升，等于甲、乙消毒液总毫升数 90300 + 500210，解得 a=10。
（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种消毒液购买90瓶，乙种消毒液购买210瓶；
（2）解：设这批消毒液可使用a天，
由题意可得：，
解得：，
答：这批消毒液可使用10天．
24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①-②，得，即③，
．得④，
②-④，得，从而可得，
∴原方程组的解是
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：
（2）请直接写出关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）解：，①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2021得，2021x+2021y=2021④，
④-②得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解是；
（2）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（2）解：，
①-②，得（a-b）x+（a-b）y=a-b，即x+y=1③，
③×（a+2）得，（a+2）x+（a+2）y=a+2④，
④-①得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解为．
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，通过观察系数特征简化运算。
（1）将两方程相减得 2x + 2y = 2，即 x + y = 1，再利用加减消元法求出 x = -1，y = 2。
（2）同理，两方程相减得 (a - b)x + (a - b)y = a - b，因 ab 两边除以 a - b 得 x + y = 1，再与任一方程联立解得 x = -1，y = 2，解与参数 a， b 无关。
（1）解：，
①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2021得，2021x+2021y=2021④，
④-②得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
①-②，得（a-b）x+（a-b）y=a-b，即x+y=1③，
③×（a+2）得，（a+2）x+（a+2）y=a+2④，
④-①得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解为．
25．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为）
（1）若三角板如图1摆放时，则___________，___________；
（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数；
（3）现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值．
【答案】（1）、
（2）解：∵，∴，
∴，
∵和的角平分线交于点，，
∴，
∴
（3）满足条件的t的值为或或．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】（1）解：如图：过E作，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
故答案为：、
（3）解：如图3-1，当时，此时，
∴，
∴，
∴；
如图3-2，当时，此时，
∴，
∴；
如图3-3，当时，此时，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义及旋转中的分类讨论。
（1）过点 E 作 EG MN，由平行线性质得 GEA = 30，进而得= 15；利用三角形内角和及邻补角得 = 135。
（2）由 PQ MN 得AEG = 30，利用外角性质得 QGF = 75，结合角平分线求出 HFG = 37.5、 HFG = 67.5，再由三角形内角和得GHF = 75。
（3）分三种情况：BC DE、BCEF、BCDF，分别利用平行线性质求出旋转角 BAM，再除以旋转速度 3/s 得 t = 15s 或 30s 或 45s。
（1）解：如图：过E作，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴
故答案为：、
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵和的角平分线交于点，，
∴，
∴
（3）解：如图3-1，当时，此时，
∴，
∴，
∴；
如图3-2，当时，此时，
∴，
∴；
如图3-3，当时，此时，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或或．
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