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湖南省永州市道县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．的值为（　　）
A．2 B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．6的平方根是36 B．6的立方根是
C．是无理数 D．没有平方根
4．下列命题正确的是（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．若，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．6
8．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．11 B．15 C．3 D．7
10．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（　　）
A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．比较大小：　 　2．（填“”“”或“”）
12．如果 ，那么x=　 　．
13．x的2倍与13的差大于7，用不等式表示为　 　．
14．已知，则的值为　 　
15．若，则a，，的大小关系是　 　（用“”表示）．
16．若，，则　 　．
17．若不等式组有解，则a的取值范围是　 　．
18．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最小值．
例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法：
解：，，当时，的值最小值是0，，当时，的最小值是1，的最小值是1．
根据示例求得代数式的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解不等式组
21．先化简，再求值：，其中．
22．某电子商品的进货价400元，出售时标价为500元，卖家准备打折出售，但要保持利润不低于50元，则最多可以打几折？
23．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
24．根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
25．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
26．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）根据规定，计算：________；
（2）已知为非负整数，满足以下方程：
①若方程，则的所有取值为_________________；
②解方程：．
（3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的值为2，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由
可得：x≤6﹣5，
x≤﹣1．
解集在数轴上表示
故答案为：B．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤"移项、合并同类项、系数化为1"可求出不等式的解集，再根据再数轴上表示解集时“≤”实心向左并结合各选项即可求解．
3．【答案】D
【知识点】无理数的概念；平方根的性质；立方根的性质
【解析】【解答】A：6的平方根是，不是36，A错误。
B：6的立方根是，立方根只有一个，B错误。
C：-6是整数，属于有理数，不是无理数，C错误。
D：实数范围内，负数没有平方根，-6是负数，所以没有平方根，D正确。
故选：D
【分析】本题考查平方根、立方根的定义与性质，以及有理数与无理数的概念。
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴当时，不一定成立，
故B不符合题意；
∵，
∴，
故C符合题意；
∵，
∴当时不成立，
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查不等式的性质，关键注意性质成立的条件：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，方向不变；乘以或除以负数时方向改变；且不能乘以零。根据这些条件判断各命题的正确性即可。
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：已知x=，∵，42=16，且9<10<16，
∴3<<4，即3<4。
故选：C
【分析】本题考查无理数的估算，核心思路是通过平方数确定无理数的范围，利用平方数与被开方数的大小关系判断介于哪两个整数之间，最终得出x的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：根据同底数幂相乘法则，，不是，A错误。B：根据幂的乘方法则，，不是，B错误。
C：与不是同类项，不能直接相加，C错误。
D：根据幂的乘方与符号法则，，D正确。
故选：D.
【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项及符号处理，解题思路是逐一验证各选项的运算法则应用是否正确，最终得出正确选项。
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：==因为展开式中不含x的一次项，所以一次项系数m-6=0，解得m=6。
故选：D．
【分析】本题考查多项式乘法运算和不含某一项的条件（该项系数为0），解题思路是先展开多项式，再令一次项系数为0求解m的值.
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答(20-x)道题。答对得分为10x分，答错或不答扣分为5(20-x)分，
根据总得分不低于80分，列不等式：，
故选：D．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设答对题数为x，表示出答错或不答的题数，再根据“每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分”列不等式，结合选项判断正确式子。
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：B．
【分析】先把 利用完全平方公式变形： ，再整体代入求值即可．
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵一个正两位数，个位数字是，十位数字是，把十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数，
∴
，
∴的值总能被11整除，
故答案为：D．
【分析】先根据题意求出的值，整理后进行因式分解，即可求解.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根性质，被开方数大的其算术平方根也大，进行比较即可.
12．【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
故填：3．
【分析】本题可利用立方根的定义直接求解．
13．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【分析】利用不等式的定义及表示方法直接列出不等式即可.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，根据平方差公式得到，进行运算，即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】不等式的性质；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：我们采用赋值法，取a =（满足-1 < a < 0）：∴a =，，
比较大小：，即。
故答案为：．
【分析】本题考查有理数的大小比较，解题思路是通过赋值法或作差法，结合-1 < a < 0的条件，比较a、、的大小。
16．【答案】20
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】根据积的乘方公式： = ==
已知，，代入得：
故答案为：20．
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题思路是利用积的乘方公式将展开为，再结合幂的乘方性质变形为，代入已知条件计算即可。
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，确定a的取值范围．
18．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：先对代数式进行配方：==
因为
当且仅当 2x - 3y = 0 且 y + 2 = 0 时，两个平方项同时取到0，此时代数式取得最小值：
0 + 0 + 5 = 5
所以该代数式的最小值是5。
故答案为：5．
【分析】本题考查配方法求代数式的最小值，解题思路是利用完全平方公式将原式拆分为多个平方项与常数的和，再根据平方项的非负性确定最小值。
19．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是先利用平方差公式计算乘法，再化简绝对值和二次根式，最后合并同类项。
20．【答案】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为：2＜x＜3.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，包括一元一次不等式的求解、不等式组解集的确定（取各不等式解集的公共部分）。解题思路是先分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀确定公共解集，先解不等式①得x>2，再解不等式②得x<3，最后取公共部分得到221．【答案】解：，
，
．
当时，原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查单项式乘多项式、完全平方公式及合并同类项的知识，解题思路是先利用单项式乘多项式法则和完全平方公式展开式子，再通过合并同类项将式子化简为最简形式，最后代入a=2求值。
22．【答案】解：设该电子商品打折销售．
依题意，得，
解得：
答：最多可打9折．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用（折扣问题），包括折扣的含义、利润的计算及一元一次不等式的解法。设折扣为x折，根据“售价=标价×折扣/10”和“利润=售价-进价”，结合“利润不低于50元”建立不等式，解不等式得出，即最多可打9折。
23．【答案】（1）解：∵的立方根是2，8的立方根是2，∴，
解得：；
∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4，
∴，即，
解得：；
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：由（1）可知，∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查立方根、算术平方根的定义以及无理数的整数部分确定方法，知识点覆盖根式概念与无理数估算。
(1) 根据立方根定义，由5a-2的立方根是2得5a-2=8，解得a=2；再根据算术平方根定义，由6a+b-1的算术平方根是4得6a+b-1=16，代入a=2，解得b=5；最后通过4<<5确定的整数部分c=4。
(2) 将a=2、b=5、c=4代入5a-b+c计算得9，再根据平方根定义求出9的平方根为。
（1）解：∵的立方根是2，8的立方根是2，
∴，
解得：；
∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4，
∴，即，
解得：；
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴的平方根为．
24．【答案】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用（租车方案问题），知识点包括一元一次不等式组的建立与求解、方案设计与费用计算。任务1：设租用A型车x辆，则租用B型车(8-x)辆，根据“总人数≥360人”和“总租金≤3300元”列出不等式组，解得，结合x为整数确定x=2或3，得到两种租车方案。
任务2：分别计算两种方案的总租金，方案1租金为500×2+350×6=3100元，方案2租金为500×3+350×5=3250元，对比得最少租金为3100元，再计算其与3300元的差值为200元。
25．【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查整式乘法运算、完全平方公式的变形应用，核心是通过公式变形，将所求代数式用已知的a-b和ab表示，再代入求值。(1) 先利用多项式乘多项式法则展开(a-1)(b+1)得ab+a-b-1，再直接代入已知a-b=7、ab=-12计算。
(2) 根据完全平方公式变形，代入a-b=7、ab=-12计算。
(3) 根据完全平方公式变形，代入求值后再开平方，得到。
（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
26．【答案】（1）6
（2）解：①4，5，6，7，8；
②根据题意得，，解得，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
同理，当时，不符合题意，故方程的解为：或8或9；
（3）解：设第4次运算的整数为，则有：，第4次运算的最小整数为2；
第3次运算的整数为，则有：，第3次运算的最小整数为4；
第2次运算的整数为，则有：，第2次运算的最小整数为16；
第1次运算的整数为，则有：，第1次运算的最小整数为256；
故最小整数为256．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：①∵，
∴，
∴x的整数值为4，5，6，7，8，
故答案为：4，5，6，7，8；
【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及估算无理数大小、不等式组求解、分类讨论思想。
(1)先估算的范围，由6<<7，根据定义直接得[]=6；
(2)①根据[]=2，由定义得2<3，平方得4 x<9，结合x为整数得x=4，5，6，7，8；
②先由被开方数非负得6 x18，再代入范围内整数逐一验证，筛选出符合[]-[]=2的x=7，8，9；
(3)逆向推导，设第4次运算的数为x，得1<2即x2，再逐步往前推导，确定每次运算的数的范围，找到至少4次运算后结果为1的最小正整数。
（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：①∵，
∴，
∴x的整数值为4，5，6，7，8，
故答案为：4，5，6，7，8；
②根据题意得，，解得，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
同理，当时，不符合题意，故方程的解为：或8或9；
（3）解：设第4次运算的整数为，则有：，第4次运算的最小整数为2；
第3次运算的整数为，则有：，第3次运算的最小整数为4；
第2次运算的整数为，则有：，第2次运算的最小整数为16；
第1次运算的整数为，则有：，第1次运算的最小整数为256；
故最小整数为256．
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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的值为2，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由
可得：x≤6﹣5，
x≤﹣1．
解集在数轴上表示
故答案为：B．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤"移项、合并同类项、系数化为1"可求出不等式的解集，再根据再数轴上表示解集时“≤”实心向左并结合各选项即可求解．
3．下列说法正确的是（　　）
A．6的平方根是36 B．6的立方根是
C．是无理数 D．没有平方根
【答案】D
【知识点】无理数的概念；平方根的性质；立方根的性质
【解析】【解答】A：6的平方根是，不是36，A错误。
B：6的立方根是，立方根只有一个，B错误。
C：-6是整数，属于有理数，不是无理数，C错误。
D：实数范围内，负数没有平方根，-6是负数，所以没有平方根，D正确。
故选：D
【分析】本题考查平方根、立方根的定义与性质，以及有理数与无理数的概念。
4．下列命题正确的是（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴当时，不一定成立，
故B不符合题意；
∵，
∴，
故C符合题意；
∵，
∴当时不成立，
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查不等式的性质，关键注意性质成立的条件：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，方向不变；乘以或除以负数时方向改变；且不能乘以零。根据这些条件判断各命题的正确性即可。
5．若，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：已知x=，∵，42=16，且9<10<16，
∴3<<4，即3<4。
故选：C
【分析】本题考查无理数的估算，核心思路是通过平方数确定无理数的范围，利用平方数与被开方数的大小关系判断介于哪两个整数之间，最终得出x的取值范围。
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：根据同底数幂相乘法则，，不是，A错误。B：根据幂的乘方法则，，不是，B错误。
C：与不是同类项，不能直接相加，C错误。
D：根据幂的乘方与符号法则，，D正确。
故选：D.
【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项及符号处理，解题思路是逐一验证各选项的运算法则应用是否正确，最终得出正确选项。
7．若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：==因为展开式中不含x的一次项，所以一次项系数m-6=0，解得m=6。
故选：D．
【分析】本题考查多项式乘法运算和不含某一项的条件（该项系数为0），解题思路是先展开多项式，再令一次项系数为0求解m的值.
8．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答(20-x)道题。答对得分为10x分，答错或不答扣分为5(20-x)分，
根据总得分不低于80分，列不等式：，
故选：D．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设答对题数为x，表示出答错或不答的题数，再根据“每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分”列不等式，结合选项判断正确式子。
9．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．11 B．15 C．3 D．7
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：B．
【分析】先把 利用完全平方公式变形： ，再整体代入求值即可．
10．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（　　）
A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵一个正两位数，个位数字是，十位数字是，把十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数，
∴
，
∴的值总能被11整除，
故答案为：D．
【分析】先根据题意求出的值，整理后进行因式分解，即可求解.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．比较大小：　 　2．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根性质，被开方数大的其算术平方根也大，进行比较即可.
12．如果 ，那么x=　 　．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
故填：3．
【分析】本题可利用立方根的定义直接求解．
13．x的2倍与13的差大于7，用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【分析】利用不等式的定义及表示方法直接列出不等式即可.
14．已知，则的值为　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，根据平方差公式得到，进行运算，即可得到答案．
15．若，则a，，的大小关系是　 　（用“”表示）．
【答案】
【知识点】不等式的性质；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：我们采用赋值法，取a =（满足-1 < a < 0）：∴a =，，
比较大小：，即。
故答案为：．
【分析】本题考查有理数的大小比较，解题思路是通过赋值法或作差法，结合-1 < a < 0的条件，比较a、、的大小。
16．若，，则　 　．
【答案】20
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】根据积的乘方公式： = ==
已知，，代入得：
故答案为：20．
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题思路是利用积的乘方公式将展开为，再结合幂的乘方性质变形为，代入已知条件计算即可。
17．若不等式组有解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，确定a的取值范围．
18．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最小值．
例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法：
解：，，当时，的值最小值是0，，当时，的最小值是1，的最小值是1．
根据示例求得代数式的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：先对代数式进行配方：==
因为
当且仅当 2x - 3y = 0 且 y + 2 = 0 时，两个平方项同时取到0，此时代数式取得最小值：
0 + 0 + 5 = 5
所以该代数式的最小值是5。
故答案为：5．
【分析】本题考查配方法求代数式的最小值，解题思路是利用完全平方公式将原式拆分为多个平方项与常数的和，再根据平方项的非负性确定最小值。
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是先利用平方差公式计算乘法，再化简绝对值和二次根式，最后合并同类项。
20．解不等式组
【答案】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为：2＜x＜3.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，包括一元一次不等式的求解、不等式组解集的确定（取各不等式解集的公共部分）。解题思路是先分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀确定公共解集，先解不等式①得x>2，再解不等式②得x<3，最后取公共部分得到221．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
．
当时，原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查单项式乘多项式、完全平方公式及合并同类项的知识，解题思路是先利用单项式乘多项式法则和完全平方公式展开式子，再通过合并同类项将式子化简为最简形式，最后代入a=2求值。
22．某电子商品的进货价400元，出售时标价为500元，卖家准备打折出售，但要保持利润不低于50元，则最多可以打几折？
【答案】解：设该电子商品打折销售．
依题意，得，
解得：
答：最多可打9折．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用（折扣问题），包括折扣的含义、利润的计算及一元一次不等式的解法。设折扣为x折，根据“售价=标价×折扣/10”和“利润=售价-进价”，结合“利润不低于50元”建立不等式，解不等式得出，即最多可打9折。
23．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是2，8的立方根是2，∴，
解得：；
∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4，
∴，即，
解得：；
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：由（1）可知，∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查立方根、算术平方根的定义以及无理数的整数部分确定方法，知识点覆盖根式概念与无理数估算。
(1) 根据立方根定义，由5a-2的立方根是2得5a-2=8，解得a=2；再根据算术平方根定义，由6a+b-1的算术平方根是4得6a+b-1=16，代入a=2，解得b=5；最后通过4<<5确定的整数部分c=4。
(2) 将a=2、b=5、c=4代入5a-b+c计算得9，再根据平方根定义求出9的平方根为。
（1）解：∵的立方根是2，8的立方根是2，
∴，
解得：；
∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4，
∴，即，
解得：；
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴的平方根为．
24．根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【答案】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用（租车方案问题），知识点包括一元一次不等式组的建立与求解、方案设计与费用计算。任务1：设租用A型车x辆，则租用B型车(8-x)辆，根据“总人数≥360人”和“总租金≤3300元”列出不等式组，解得，结合x为整数确定x=2或3，得到两种租车方案。
任务2：分别计算两种方案的总租金，方案1租金为500×2+350×6=3100元，方案2租金为500×3+350×5=3250元，对比得最少租金为3100元，再计算其与3300元的差值为200元。
25．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查整式乘法运算、完全平方公式的变形应用，核心是通过公式变形，将所求代数式用已知的a-b和ab表示，再代入求值。(1) 先利用多项式乘多项式法则展开(a-1)(b+1)得ab+a-b-1，再直接代入已知a-b=7、ab=-12计算。
(2) 根据完全平方公式变形，代入a-b=7、ab=-12计算。
(3) 根据完全平方公式变形，代入求值后再开平方，得到。
（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
26．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）根据规定，计算：________；
（2）已知为非负整数，满足以下方程：
①若方程，则的所有取值为_________________；
②解方程：．
（3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数．
【答案】（1）6
（2）解：①4，5，6，7，8；
②根据题意得，，解得，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
同理，当时，不符合题意，故方程的解为：或8或9；
（3）解：设第4次运算的整数为，则有：，第4次运算的最小整数为2；
第3次运算的整数为，则有：，第3次运算的最小整数为4；
第2次运算的整数为，则有：，第2次运算的最小整数为16；
第1次运算的整数为，则有：，第1次运算的最小整数为256；
故最小整数为256．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：①∵，
∴，
∴x的整数值为4，5，6，7，8，
故答案为：4，5，6，7，8；
【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及估算无理数大小、不等式组求解、分类讨论思想。
(1)先估算的范围，由6<<7，根据定义直接得[]=6；
(2)①根据[]=2，由定义得2<3，平方得4 x<9，结合x为整数得x=4，5，6，7，8；
②先由被开方数非负得6 x18，再代入范围内整数逐一验证，筛选出符合[]-[]=2的x=7，8，9；
(3)逆向推导，设第4次运算的数为x，得1<2即x2，再逐步往前推导，确定每次运算的数的范围，找到至少4次运算后结果为1的最小正整数。
（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：①∵，
∴，
∴x的整数值为4，5，6，7，8，
故答案为：4，5，6，7，8；
②根据题意得，，解得，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
同理，当时，不符合题意，故方程的解为：或8或9；
（3）解：设第4次运算的整数为，则有：，第4次运算的最小整数为2；
第3次运算的整数为，则有：，第3次运算的最小整数为4；
第2次运算的整数为，则有：，第2次运算的最小整数为16；
第1次运算的整数为，则有：，第1次运算的最小整数为256；
故最小整数为256．
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