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四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列根式是二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的根指数为3，是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中，当a＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、是二次根式， 故此选项符合题意；
D、，不含二次根号，不是二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 形如“”的式子是二次根式 ，据此逐一判断得出答案.
2．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A．不是最简二次根式，此项不符合题意；
B．是三次根式，此项不符题意；
C．，不是最简二次根式，此项不符题意；
D．是最简二次根式，此项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，解题时需对每个选项逐一验证：检查被开方数是否含分母、是否含能开得尽方的因数，排除不符合条件的选项，最终选出符合定义的最简二次根式.
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．1，1，2 B．1，，2
C．3，4，5 D．，，
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、因为，所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意；
B、因为不是正整数， 所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意；
C、因为，且都是正整数，所以这三个数是勾股数，则此选项符合题意；
D、因为不是正整数， 所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，这这三个正整数就是一组勾股数，据此逐一判断得出答案.
4．下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分；
矩形的对角线相等且互相平分；
菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；
正方形的对角线相等，互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
∴对角线一定相等的是②③.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形对角线的性质逐一判断即可.
5．下列二次根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故选项错误，不符合题意；
B、是最简二次根式，不能与合并，故选项错误，不符合题意；
C、，能与合并，故选项正确，符合题意；
D、，不能与合并，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将所给二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次根式才能合并，据此逐一判断得出答案.
6．如图是一株美丽的勾股树，其中原有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是2，则A、B、C、D、E、F、G这七个正方形面积之和是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个G的面积．
∵G的面积是，
∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为．
故答案为：C．
【分析】运用勾股定理和正方形的面积公式可得小正方形A、B、C、D、E、F的面积之和等于最大正方形G的面积的2倍．
7．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD=11，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=∠CED，根据角平分线的定义得∠ADE=∠CDE， 则∠CED=∠CDE，根据等角对等边得CE=CD=11，由线段和差算出BC即可得出答案.
8．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（　　）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：∵“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故答案为：C．
【分析】根据方位角及角的构成得，有路程等于速度乘以时间得出PQ、PR的长，最后利用勾股定理算出QR即可.
9．在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质：矩形的对角线相等，即可得出答案。
10．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AE、BE，根据作图过程及三边相等的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都为60°得∠EAB=60°，由正方形四边相等每一个内角都等于90°得AB=AD，∠DAB=∠ADC=90°，由角的构成求出∠DAE=30°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ADE=75°，最后再根据角的构成可求出∠CDE的度数.
11．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由勾股定理算出AB=10，再由折叠的性质得到，设，则，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程求出x，得到AE的长，进而再在Rt△AED中利用勾股定理算出DE即可.
12．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接并延长交于E，连接、，分别交、于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．四边形是菱形
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，，平分，故A不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，AF=BE
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形，故B不符合题意；
∴，，
∴，故C不符合题意；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】由作图可得，，平分，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断B；由菱形的性质得出，BE的长，再求出的长，即可判断C；证明，得出，的长，再证明，得出，即可判断D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x+2＞0，
∴，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解。
14．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是　 　cm．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的一个内角是，
∴其邻角为，
根据菱形的性质得，角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，
故这个菱形较短的对角线长是cm．
故答案为：5.
【分析】根据菱形邻角互补得出其一个内角为60°，由菱形的四边相等及有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出菱形60°角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得答案.
15．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是，根据图形求出，进一步求出的值，即可求解.
16．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短/三角形三边关系. 由旋转性质得、，；结合正方形性质，证，得，；用勾股定理算出，根据，得，即CN最小值为．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则、二次根式性质及绝对值性质分别计算，再合并同类二次根式即可.
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
【答案】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的定义与判定. 解题核心是通过角度关系推导平行线，再结合平行四边形定义完成证明，解题需紧扣“平行关系平行四边形边长相等”的逻辑.
19．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
【答案】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、角度计算. 解题关键在于利用三角形中位线定理，得出，；结合AD=BC的条件，推出PF=PE，证明为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等边对等角”，结合，求出.
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．已知，，求：
（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将字母的值代入，然后利用平方差公式展开括号，进而根据二次根式的性质化简，最后计算有理数减法得出答案；
（2）先根据二次根式加法法则计算出x+y的值，然后根据完全平方公式将待求式子变形为(x+y)2-2xy，从而整体代入计算即可．
（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
21．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】解：在中，，
根据勾股定理可得，
∴小汽车的速度为．
，
∴这辆小汽车没有超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理算出BC的长，然后根据路程、速度、时间三者的关系计算出速度，与限速比较即可得出答案．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．阅读与思考
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例：．
请仿照材料中的方法解答下列问题：
（1）的一个有理化因式为___________；
的一个有理化因式为___________；
（2）将下列各式进行分母有理化：
①；②．
【答案】（1）；
（2）解：①
；
②
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：；；
【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据互为有理化因式的定义模仿题干给出的例子解答即可；
（2）①首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；
②首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据平方差公式及二次根式性质计算分母，最后约分即可.
（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
．
23．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形．
【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
又，
；
，
，且O是BD的中点，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，BF=FD，
∴BE=ED=DF=BF，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由矩形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EDO=∠FBO，从而可用“ASA”证△BOF≌△DOE，由全等三角形的对应边相等得BF=DE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=ED，BF=FD，则BE=ED=DF=BF，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论.
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式的最小值．
【答案】解：（1）∵BD＝8，
设CD＝x，
∴BC=8-x，
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴AC+CE=；
（2）如图，当A、C、E三点共线时，AC＋CE的值最小；
过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝8，EF＝ED＋DF＝2＋1＝3，
所以AE＝
故AC+CE的最小值为；
（3）如图所示，作BD＝4，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝1，ED＝2连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数的最小值．
过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝1，AF＝BD＝4，EF＝ED＋DF＝2＋1＝3，
所以AE＝，
即的最小值为5．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；数形结合
【解析】【分析】（1）设CD=x，则BC=8-x，在Rt△ABC和Rt△CDE中，利用勾股定理分别表示出AC，CE，再求和即可；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC＋CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC＋CE的值最小， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，易得矩形ABDF，由矩形对边相等得AB＝DF＝2，AF＝BD＝8，则EF＝ED＋DF＝2＋1＝3， 在Rt△AEF中，利用勾股定理算出AE即可；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝4，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝1，ED＝2，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用勾股定理求得AE的值即可．
25．综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，求和的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图②所示，过点D作，垂足为H，则，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
（3）解：如图①所示，作于，
∵四边形是正方形
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，则
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，，，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BEFE'是矩形，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BEFE'是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的三线合一可得，由正方形的性质得AB=AD，∠DAB=90°，由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠DAE=∠ADH，从而由“AAS”可得△AEB≌△DHA，由全等三角形的对应边相等可得，由正方形性质得BE=E'F，由旋转的性质可得AE=CE'，从而可得结论；
（3）作DG⊥AE于G，由正方形性质得BE=BE'=EF，在Rt△CBE'中，根据勾股定理建立方程求出BE'，由线段和差算出CE'，由（2）可得BE=AG=6，DG=AE=CE'=8，由线段和差算出GE，最后在Rt△DEG中，根据勾股定理计算DE的长．
1 / 1四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列根式是二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
2．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．1，1，2 B．1，，2
C．3，4，5 D．，，
4．下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③
5．下列二次根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中原有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是2，则A、B、C、D、E、F、G这七个正方形面积之和是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
8．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（　　）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
9．在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
10．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（　　）
A．3 B． C．4 D．
12．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接并延长交于E，连接、，分别交、于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．四边形是菱形
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若有意义，则的取值范围是　 　．
14．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是　 　cm．
15．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为　 　．
16．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
19．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．已知，，求：
（1）的值．
（2）的值．
21．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．阅读与思考
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例：．
请仿照材料中的方法解答下列问题：
（1）的一个有理化因式为___________；
的一个有理化因式为___________；
（2）将下列各式进行分母有理化：
①；②．
23．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式的最小值．
25．综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，求和的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的根指数为3，是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中，当a＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、是二次根式， 故此选项符合题意；
D、，不含二次根号，不是二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 形如“”的式子是二次根式 ，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A．不是最简二次根式，此项不符合题意；
B．是三次根式，此项不符题意；
C．，不是最简二次根式，此项不符题意；
D．是最简二次根式，此项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，解题时需对每个选项逐一验证：检查被开方数是否含分母、是否含能开得尽方的因数，排除不符合条件的选项，最终选出符合定义的最简二次根式.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、因为，所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意；
B、因为不是正整数， 所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意；
C、因为，且都是正整数，所以这三个数是勾股数，则此选项符合题意；
D、因为不是正整数， 所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，这这三个正整数就是一组勾股数，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分；
矩形的对角线相等且互相平分；
菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；
正方形的对角线相等，互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
∴对角线一定相等的是②③.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形对角线的性质逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故选项错误，不符合题意；
B、是最简二次根式，不能与合并，故选项错误，不符合题意；
C、，能与合并，故选项正确，符合题意；
D、，不能与合并，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将所给二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次根式才能合并，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个G的面积．
∵G的面积是，
∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为．
故答案为：C．
【分析】运用勾股定理和正方形的面积公式可得小正方形A、B、C、D、E、F的面积之和等于最大正方形G的面积的2倍．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD=11，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=∠CED，根据角平分线的定义得∠ADE=∠CDE， 则∠CED=∠CDE，根据等角对等边得CE=CD=11，由线段和差算出BC即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：∵“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故答案为：C．
【分析】根据方位角及角的构成得，有路程等于速度乘以时间得出PQ、PR的长，最后利用勾股定理算出QR即可.
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质：矩形的对角线相等，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AE、BE，根据作图过程及三边相等的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都为60°得∠EAB=60°，由正方形四边相等每一个内角都等于90°得AB=AD，∠DAB=∠ADC=90°，由角的构成求出∠DAE=30°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ADE=75°，最后再根据角的构成可求出∠CDE的度数.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由勾股定理算出AB=10，再由折叠的性质得到，设，则，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程求出x，得到AE的长，进而再在Rt△AED中利用勾股定理算出DE即可.
12．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，，平分，故A不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，AF=BE
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形，故B不符合题意；
∴，，
∴，故C不符合题意；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】由作图可得，，平分，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断B；由菱形的性质得出，BE的长，再求出的长，即可判断C；证明，得出，的长，再证明，得出，即可判断D.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x+2＞0，
∴，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解。
14．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的一个内角是，
∴其邻角为，
根据菱形的性质得，角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，
故这个菱形较短的对角线长是cm．
故答案为：5.
【分析】根据菱形邻角互补得出其一个内角为60°，由菱形的四边相等及有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出菱形60°角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得答案.
15．【答案】12
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是，根据图形求出，进一步求出的值，即可求解.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短/三角形三边关系. 由旋转性质得、，；结合正方形性质，证，得，；用勾股定理算出，根据，得，即CN最小值为．
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则、二次根式性质及绝对值性质分别计算，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的定义与判定. 解题核心是通过角度关系推导平行线，再结合平行四边形定义完成证明，解题需紧扣“平行关系平行四边形边长相等”的逻辑.
19．【答案】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、角度计算. 解题关键在于利用三角形中位线定理，得出，；结合AD=BC的条件，推出PF=PE，证明为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等边对等角”，结合，求出.
20．【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将字母的值代入，然后利用平方差公式展开括号，进而根据二次根式的性质化简，最后计算有理数减法得出答案；
（2）先根据二次根式加法法则计算出x+y的值，然后根据完全平方公式将待求式子变形为(x+y)2-2xy，从而整体代入计算即可．
（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
21．【答案】解：在中，，
根据勾股定理可得，
∴小汽车的速度为．
，
∴这辆小汽车没有超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理算出BC的长，然后根据路程、速度、时间三者的关系计算出速度，与限速比较即可得出答案．
22．【答案】（1）；
（2）解：①
；
②
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：；；
【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据互为有理化因式的定义模仿题干给出的例子解答即可；
（2）①首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；
②首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据平方差公式及二次根式性质计算分母，最后约分即可.
（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
．
23．【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
又，
；
，
，且O是BD的中点，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，BF=FD，
∴BE=ED=DF=BF，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由矩形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EDO=∠FBO，从而可用“ASA”证△BOF≌△DOE，由全等三角形的对应边相等得BF=DE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=ED，BF=FD，则BE=ED=DF=BF，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论.
24．【答案】解：（1）∵BD＝8，
设CD＝x，
∴BC=8-x，
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴AC+CE=；
（2）如图，当A、C、E三点共线时，AC＋CE的值最小；
过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝8，EF＝ED＋DF＝2＋1＝3，
所以AE＝
故AC+CE的最小值为；
（3）如图所示，作BD＝4，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝1，ED＝2连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数的最小值．
过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝1，AF＝BD＝4，EF＝ED＋DF＝2＋1＝3，
所以AE＝，
即的最小值为5．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；数形结合
【解析】【分析】（1）设CD=x，则BC=8-x，在Rt△ABC和Rt△CDE中，利用勾股定理分别表示出AC，CE，再求和即可；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC＋CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC＋CE的值最小， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，易得矩形ABDF，由矩形对边相等得AB＝DF＝2，AF＝BD＝8，则EF＝ED＋DF＝2＋1＝3， 在Rt△AEF中，利用勾股定理算出AE即可；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝4，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝1，ED＝2，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用勾股定理求得AE的值即可．
25．【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图②所示，过点D作，垂足为H，则，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
（3）解：如图①所示，作于，
∵四边形是正方形
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，则
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，，，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BEFE'是矩形，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BEFE'是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的三线合一可得，由正方形的性质得AB=AD，∠DAB=90°，由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠DAE=∠ADH，从而由“AAS”可得△AEB≌△DHA，由全等三角形的对应边相等可得，由正方形性质得BE=E'F，由旋转的性质可得AE=CE'，从而可得结论；
（3）作DG⊥AE于G，由正方形性质得BE=BE'=EF，在Rt△CBE'中，根据勾股定理建立方程求出BE'，由线段和差算出CE'，由（2）可得BE=AG=6，DG=AE=CE'=8，由线段和差算出GE，最后在Rt△DEG中，根据勾股定理计算DE的长．
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